東京工業大学工学院システム制御系 2019年度筆答専門試験（2018年8月実施）問題1

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

(1) 次の極限値を求めよ。

\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2-3x-1}-x\right)

(2) 次の複素積分を求めよ。ただし、積分路 $C$ は複素平面上の $|z|=5$ で表される円周を反時計回りに一周する経路とする。

\oint_C\frac{7z-1}{z^2-z-6}\,dz

3次元空間に直交座標系 $xyz$ をとる。 $x^2+y^2\le r^2$ かつ $y^2+z^2\le r^2$ を満たす領域を立体 $D$ とする。ただし $r>0$ とする。

(1) 立体 $D$ を平面 $y=y_0$ で切った断面の面積を求めよ。ただし $-r\le y_0\le r$ とする。

(2) 立体 $D$ の体積を求めよ。

(3) 立体 $D$ の表面積を求めよ。

问1：(1) 求 $\sqrt{x^2-3x-1}-x$ 在 $x\to+\infty$ 时的极限。(2) 沿 $|z|=5$ 逆时针计算 $\oint_C(7z-1)/(z^2-z-6)\,dz$ 。

问2： $r>0$ ，立体 $D$ 为两个圆柱 $x^2+y^2\le r^2$ 与 $y^2+z^2\le r^2$ 的公共部分。(1) 求 $-r\le y_0\le r$ 时平面 $y=y_0$ 所截截面的面积。(2) 求体积。(3) 求表面积。

(1) 分子を有理化すると、

\sqrt{x^2-3x-1}-x =\frac{-3x-1}{\sqrt{x^2-3x-1}+x} =\frac{-3-1/x}{\sqrt{1-3/x-1/x^2}+1} \longrightarrow\boxed{-\frac32}.

(2) $z^2-z-6=(z+2)(z-3)$ であり、 $C$ の内部にある単純極 $-2,3$ の留数はそれぞれ

\operatorname{Res}_{z=-2}\frac{7z-1}{(z+2)(z-3)}=3, \qquad \operatorname{Res}_{z=3}\frac{7z-1}{(z+2)(z-3)}=4.

したがって留数定理より、

\boxed{\oint_C\frac{7z-1}{z^2-z-6}\,dz=2\pi i(3+4)=14\pi i}.

(1) $y=y_0$ において、

|x|\le\sqrt{r^2-y_0^2},\qquad |z|\le\sqrt{r^2-y_0^2}.

断面は一辺 $2\sqrt{r^2-y_0^2}$ の正方形なので、

\boxed{S(y_0)=4(r^2-y_0^2)}.

(2) 断面積を積分して、

\boxed{V=\int_{-r}^{r}4(r^2-y^2)\,dy=\frac{16}{3}r^3}.

(3) 境界は $x^2+y^2=r^2$ 上の部分と $y^2+z^2=r^2$ 上の部分からなる。両者の面積は対称性によって等しく、交線の面積は $0$ である。

後者の上半分 $z=\sqrt{r^2-y^2}$ について、射影領域は $x^2+y^2\le r^2$ であり、

\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}=\frac{r}{\sqrt{r^2-y^2}}.

よって、この上半分の面積は

A_+=\int_{-r}^{r}\int_{-\sqrt{r^2-y^2}}^{\sqrt{r^2-y^2}} \frac{r}{\sqrt{r^2-y^2}}\,dx\,dy =\int_{-r}^{r}2r\,dy=4r^2.

上下の2面と、 $x$ と $z$ を入れ替えた2面を合わせると、

\boxed{A=4A_+=16r^2}.