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東京工業大学 工学院 システム制御系 2018年8月実施 筆答専門試験問題1

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

問1​

(1) 次の極限値を求めよ。

lim⁡x→∞(x2−3x−1−x)\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2-3x-1}-x\right)

(2) 次の複素積分を求めよ。ただし、積分路 CC は複素平面上の ∣z∣=5|z|=5 で表される円周を反時計回りに一周する経路とする。

∮C7z−1z2−z−6 dz\oint_C\frac{7z-1}{z^2-z-6}\,dz

問2​

3次元空間に直交座標系 xyzxyz をとる。x2+y2≤r2x^2+y^2\le r^2 かつ y2+z2≤r2y^2+z^2\le r^2 を満たす領域を立体 DD とする。ただし r>0r>0 とする。

(1) 立体 DD を平面 y=y0y=y_0 で切った断面の面積を求めよ。ただし −r≤y0≤r-r\le y_0\le r とする。

(2) 立体 DD の体積を求めよ。

(3) 立体 DD の表面積を求めよ。

题目描述​

问1

(1) 求下列极限：

lim⁡x→∞(x2−3x−1−x).\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2-3x-1}-x\right).

(2) 求下列复积分。积分路径 CC 为沿复平面上圆周 ∣z∣=5|z|=5 逆时针一周的闭合路径。

∮C7z−1z2−z−6 dz.\oint_C\frac{7z-1}{z^2-z-6}\,dz.

问2 在三维空间中取直角坐标系 xyzxyz。将同时满足 x2+y2≤r2x^2+y^2\le r^2、y2+z2≤r2y^2+z^2\le r^2 的区域记为立体 DD，其中 r>0r>0。

(1) 求平面 y=y0y=y_0 截立体 DD 所得截面的面积，其中 −r≤y0≤r-r\le y_0\le r。

(2) 求 DD 的体积。

(3) 求 DD 的表面积。

Kai​

問1​

(1) 分子を有理化すると、

x2−3x−1−x=−3x−1x2−3x−1+x=−3−1/x1−3/x−1/x2+1⟶−32.\begin{gathered} \sqrt{x^2-3x-1}-x =\frac{-3x-1}{\sqrt{x^2-3x-1}+x}\\ =\frac{-3-1/x}{\sqrt{1-3/x-1/x^2}+1} \longrightarrow\boxed{-\frac32}. \end{gathered}

(2) z2−z−6=(z+2)(z−3)z^2-z-6=(z+2)(z-3) であり、CC の内部にある単純極 −2,3-2,3 の留数はそれぞれ

Res⁡z=−27z−1(z+2)(z−3)=3,Res⁡z=37z−1(z+2)(z−3)=4.\operatorname{Res}_{z=-2}\frac{7z-1}{(z+2)(z-3)}=3, \qquad \operatorname{Res}_{z=3}\frac{7z-1}{(z+2)(z-3)}=4.

したがって留数定理より、

∮C7z−1z2−z−6 dz=2πi(3+4)=14πi.\boxed{\oint_C\frac{7z-1}{z^2-z-6}\,dz=2\pi i(3+4)=14\pi i}.

問2​

(1) y=y0y=y_0 において、

∣x∣≤r2−y02,∣z∣≤r2−y02.|x|\le\sqrt{r^2-y_0^2},\qquad |z|\le\sqrt{r^2-y_0^2}.

断面は一辺 2r2−y022\sqrt{r^2-y_0^2} の正方形なので、

S(y0)=4(r2−y02).\boxed{S(y_0)=4(r^2-y_0^2)}.

(2) 断面積を積分して、

V=∫−rr4(r2−y2) dy=163r3.\boxed{V=\int_{-r}^{r}4(r^2-y^2)\,dy=\frac{16}{3}r^3}.

(3) 境界は x2+y2=r2x^2+y^2=r^2 上の部分と y2+z2=r2y^2+z^2=r^2 上の部分からなる。両者の面積は対称性によって等しく、交線の面積は 00 である。

後者の上半分 z=r2−y2z=\sqrt{r^2-y^2} について、射影領域は x2+y2≤r2x^2+y^2\le r^2 であり、

1+zx2+zy2=rr2−y2.\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}=\frac{r}{\sqrt{r^2-y^2}}.

よって、この上半分の面積は

A+=∫−rr∫−r2−y2r2−y2rr2−y2 dx dy=∫−rr2r dy=4r2.A_+=\int_{-r}^{r}\int_{-\sqrt{r^2-y^2}}^{\sqrt{r^2-y^2}} \frac{r}{\sqrt{r^2-y^2}}\,dx\,dy =\int_{-r}^{r}2r\,dy=4r^2.

上下の2面と、xx と zz を入れ替えた2面を合わせると、

A=4A+=16r2.\boxed{A=4A_+=16r^2}.
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