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東京工業大学 工学院 機械系 2021年8月実施 問題4（流体力学）問1

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Author​

祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

原問題（2022大修、9ページ）

密度 ρ\rho の水がノズルから鉛直上向きに噴出する。周囲の気圧は P0P_0、重力加速度は gg で、水は完全流体とする。ノズル出口の高さ・断面積・速さは z0,A0,v0z_0,A_0,v_0、ノズル内の高さ z1z_1 における断面積・静圧・速さは A1,P1,v1A_1,P_1,v_1 である。

  1. z0,z1z_0,z_1 での速度と圧力の関係を Bernoulli の定理で表す。
  2. v1v_1 を使わずに v0v_0 を表す。
  3. 噴流をバケットで 180∘180^\circ 反転させる。バケット内では重力の影響と流路断面積の変化を無視する。出口と同じ高さで保持されるバケットの質量 MM を出口の物理量で表す。
  4. バケットに当たる前の高さ zz における噴流の速さ vv を出口の物理量で表す。
  5. 質量 m<Mm<M のバケットが出口から高さ hmh_m で保持されるとき、hmh_m を mm と出口の物理量で表す。

上向き噴流と流れを反転するバケット

题目描述​

密度 ρ\rho 的理想流体由喷嘴竖直向上喷出，环境气压为 P0P_0。出口参数为 z0,A0,v0z_0,A_0,v_0，喷嘴内部截面参数为 z1,A1,P1,v1z_1,A_1,P_1,v_1。利用伯努利方程和连续方程求出口速度。水流进入上方静止斗体后转向 180∘180^\circ；忽略转向过程中的重力影响及流束截面积变化。求斗体保持在出口高度时的质量 MM、自由射流在高度 zz 的速度，以及质量 m<Mm<M 的斗体平衡时距出口的高度 hmh_m。

Kai​

(1)​

P0+12ρv02+ρgz0=P1+12ρv12+ρgz1.\boxed{P_0+\frac12\rho v_0^2+\rho gz_0 =P_1+\frac12\rho v_1^2+\rho gz_1}.

(2)​

連続の式 A0v0=A1v1A_0v_0=A_1v_1 を (1) に代入すると

v0=2{(P1−P0)/ρ+g(z1−z0)}1−(A0/A1)2.\boxed{v_0=\sqrt{\frac{2\{(P_1-P_0)/\rho+g(z_1-z_0)\}}{1-(A_0/A_1)^2}}}.

(3)​

流量を Q=A0v0Q=A_0v_0 とする。上向きを正として、噴流の鉛直運動量流束は反転により ρQ(−v0−v0)\rho Q(-v_0-v_0) だけ変化する。バケットが受ける上向きの力は F=2ρQv0F=2\rho Qv_0 なので、Mg=FMg=F より

M=2ρA0v02g.\boxed{M=\frac{2\rho A_0v_0^2}{g}}.

(4)​

自由噴流内の圧力は P0P_0 であり、Bernoulli の定理から

v22+gz=v022+gz0,v=v02−2g(z−z0).\frac{v^2}{2}+gz=\frac{v_0^2}{2}+gz_0, \qquad \boxed{v=\sqrt{v_0^2-2g(z-z_0)}}.

(5)​

流量は高さによらず Q=A0v0Q=A_0v_0 である。バケットのつり合いより

mg=2ρA0v0v02−2ghm.mg=2\rho A_0v_0\sqrt{v_0^2-2gh_m}.

したがって

hm=12g{v02−(mg2ρA0v0)2}=v022g{1−(mM)2}.\boxed{h_m=\frac1{2g}\left\{v_0^2-\left(\frac{mg}{2\rho A_0v_0}\right)^2\right\}} =\frac{v_0^2}{2g}\left\{1-\left(\frac mM\right)^2\right\}.
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