東京工業大学 工学院 機械系 2021年8月実施 問題4（流体力学）問1

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• 东京科学大学
• 伯努利方程
• 控制体动量守恒

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祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

原問題（2022大修、9ページ）

問1　図1に示すように、圧力 $P_0$ の空気中に重力と逆方向へ放出する噴水を考える。このときノズル出口の高さを $z_0$、断面積を $A_0$、水の速度を $v_0$ とする。また、高さ $z_1$ におけるノズル断面積を $A_1$、水の静圧を $P_1$、速度を $v_1$ とする。水の密度を $\rho$、重力加速度を $g$ とし、完全流体を仮定して以下の問いに答えよ。

(1) $z_0$ と $z_1$ における速度と圧力の関係をベルヌーイの定理を用いて表せ。

(2) 速度 $v_0$ を、$v_1$ 以外の与えられた物理量を用いて表せ。

次に、図2に示すように噴水の運動量を利用してバケットを浮上させることを考える。バケットが維持される高さを $h$ とする。ここで、水の流れはバケットにより180度変えられるが、水の流れがバケットにより変えられ始めてから離脱するまでの間に重力の影響はなく、流れの断面積も変わらないものとする。

(3) バケットの質量が $M$ のとき、バケットはノズル出口の高さ $(h=0)$ に維持された。このとき、質量 $M$ を高さ $z_0$ における物理量を用いて表せ。

(4) 高さ $z\ (z_0<z<z_0+h)$ における噴流の速度 $v$ を、高さ $z_0$ における物理量と $z$ を用いて表せ。

(5) 質量 $m\ (<M)$ のバケットはノズル出口から高さ $h_m$ に維持された。このとき、$h_m$ を高さ $z_0$ における物理量を用いて表せ。

题目描述

问1　如图1，考虑在压力为 $P_0$ 的空气中逆着重力方向喷出的水流。喷嘴出口的高度为 $z_0$、截面积为 $A_0$、水速为 $v_0$。高度 $z_1$ 处的喷嘴截面积为 $A_1$，水的静压为 $P_1$、速度为 $v_1$。水的密度为 $\rho$，重力加速度为 $g$。假设水为理想流体，回答以下问题。

(1) 用伯努利定理表示 $z_0,z_1$ 两高度处速度与压力的关系。

(2) 使用除 $v_1$ 以外的已知物理量表示速度 $v_0$。

接下来，如图2，利用水流的动量使斗体悬浮。斗体维持的高度记为 $h$。水流被斗体转向180度；从水流开始被斗体改变方向到离开斗体为止，忽略重力的影响，且水流截面积不变。

(3) 斗体质量为 $M$ 时，维持在喷嘴出口高度 $(h=0)$。用高度 $z_0$ 处的物理量表示质量 $M$。

(4) 用高度 $z_0$ 处的物理量以及 $z$，表示高度 $z\ (z_0<z<z_0+h)$ 处射流的速度 $v$。

(5) 质量为 $m\ (<M)$ 的斗体维持在距喷嘴出口高度 $h_m$ 的位置。用高度 $z_0$ 处的物理量表示 $h_m$。

Kai

(1)

$$\boxed{P_0+\frac12\rho v_0^2+\rho gz_0 =P_1+\frac12\rho v_1^2+\rho gz_1}.$$

(2)

連続の式 $A_0v_0=A_1v_1$ を (1) に代入すると

$$\boxed{v_0=\sqrt{\frac{2\{(P_1-P_0)/\rho+g(z_1-z_0)\}}{1-(A_0/A_1)^2}}}.$$

(3)

流量を $Q=A_0v_0$ とする。上向きを正として、噴流の鉛直運動量流束は反転により $\rho Q(-v_0-v_0)$ だけ変化する。バケットが受ける上向きの力は $F=2\rho Qv_0$ なので、$Mg=F$ より

$$\boxed{M=\frac{2\rho A_0v_0^2}{g}}.$$

(4)

自由噴流内の圧力は $P_0$ であり、Bernoulli の定理から

$$\frac{v^2}{2}+gz=\frac{v_0^2}{2}+gz_0, \qquad \boxed{v=\sqrt{v_0^2-2g(z-z_0)}}.$$

(5)

流量は高さによらず $Q=A_0v_0$ である。バケットのつり合いより

$$mg=2\rho A_0v_0\sqrt{v_0^2-2gh_m}.$$

したがって

$$\boxed{h_m=\frac1{2g}\left\{v_0^2-\left(\frac{mg}{2\rho A_0v_0}\right)^2\right\}} =\frac{v_0^2}{2g}\left\{1-\left(\frac mM\right)^2\right\}.$$