東京工業大学 工学院 機械系 2019年8月実施 選択専門科目 問題5（工業数学）

标签：

• 东京科学大学
• 二阶线性常微分方程
• 初值问题
• 梯度、散度与旋度
• 第一类曲线积分
• 复数根

Author

Miyake

Description

題意の要約

公式問題PDF、10–11ページ

1. (1) $y(1+y)+2xy'=0$ の一般解を求める。(2) $y''-2y'+3y=0$、$y(0)=3,\ y'(0)=1$ を解く。
2. (1) $\boldsymbol A=(xy^2,2y^2z,3yz^2)$、$f=xy^2z$ に対し、(i) $\nabla\cdot\boldsymbol A$、(ii) $\boldsymbol A\cdot\nabla f$、(iii) $\nabla\cdot\nabla f$ を求める。(2) $C:(x,y,z)=(\cos t,\sin t,t)$、$0\le t\le\pi/2$ に沿う $\int_C(x\,dx+2y\,dy+z^2\,dz)$ を計算する。
3. (1) $z^4=-1$ の全解を求める。(2) $\int_{-\infty}^{\infty}(x^4+1)^{-1}\,dx$ を求める。
4. 周期2の関数 $p(x)=x$（$-1<x\le1$、周期延長）を実フーリエ級数 $a_0/2+\sum_{n\ge1}(a_n\cos n\pi x+b_n\sin n\pi x)$ で表す。(1) $a_0,a_1,b_1,a_2,b_2,a_3,b_3$ を求める（空欄①–⑦）。(2) $q(x)=a_0/2+\sum_{n=1}^3(a_n\cos n\pi x+b_n\sin n\pi x)$ として、$\int_{-1}^1q(x)^2\,dx$ を求める（⑧）。

题目描述

1. 求解以下两个微分方程。

   1. $y(1+y)+2xy'=0$ 的通解。
   2. $y''-2y'+3y=0$ 在 $y(0)=3,y'(0)=1$ 下的解。

2. 向量分析与线积分：

   1. 给定

      $$\boldsymbol A =(xy^2,\,2y^2z,\,3yz^2), \qquad f(x,y,z)=xy^2z.$$

      依次计算：

      1. $\boldsymbol\nabla\cdot\boldsymbol A$；
      2. $\boldsymbol A\cdot\boldsymbol\nabla f$；
      3. $\boldsymbol\nabla\cdot(\boldsymbol\nabla f)$。

   2. 曲线 $C$ 参数化为

      $$x(t)=\cos t,\qquad y(t)=\sin t,\qquad z(t)=t,\qquad 0\leq t\leq\frac\pi2.$$

      计算标量线积分

      $$\int_C(x\,\mathrm dx+2y\,\mathrm dy+z^2\,\mathrm dz).$$

3. 复数与积分：

   1. 求 $z^4=-1$ 的全部四个复根。
   2. 计算 $\int_{-\infty}^{\infty}(x^4+1)^{-1}\,dx$。

4. 周期为2的锯齿波在 $-1<x\le1$ 上为 $p(x)=x$，向区间外作周期延拓。其 Fourier 级数为 $a_0/2+\sum_{n\ge1}(a_n\cos n\pi x+b_n\sin n\pi x)$。

   1. 求 $a_0,a_1,b_1,a_2,b_2,a_3,b_3$（空栏①–⑦）。
   2. 令 $q(x)=a_0/2+\sum_{n=1}^{3}(a_n\cos n\pi x+b_n\sin n\pi x)$，求 $\int_{-1}^{1}q(x)^2\,dx$（空栏⑧）。

Kai

問1

(1)

$x\ne0$ の区間で $y\ne0,-1$ として変数分離すると

$$\frac{dy}{y(1+y)}=-\frac{dx}{2x},\qquad \log\left|\frac{y}{1+y}\right|=-\frac12\log|x|+C.$$

よって $y/(1+y)=K/\sqrt{|x|}$、したがって

$$\boxed{y=\frac{K}{\sqrt{|x|}-K}}$$

である（分母が0でない区間）。$K=0$ は定数解 $y=0$ を含み、別に定数解 $\boxed{y=-1}$ がある。$x=0$ では方程式から $y(0)=0$ または $-1$ が必要であり、$C^1$ 解として0を含む区間に延長できるのはこの2つの定数解である。

(2)

与えられた微分方程式に $y = e^{\lambda x}$ を代入すると、

$$\begin{aligned} \lambda^2 - 2 \lambda + 3 = 0 \\ \therefore \ \ \lambda = 1 \pm \sqrt{2} i \end{aligned}$$

を得る。 よって、与えられた微分方程式の一般解は、積分定数を $A,B$ として、

$$\begin{aligned} y = e^x \left( A \sin \sqrt{2} x + B \cos \sqrt{2} x \right) \end{aligned}$$

である。 $x=0$ のとき、 $y=3$ から $B=3$ がわかり、 $dy/dx=1$ から $A = - \sqrt{2}$ がわかる。 つまり、求める解は、

$$\begin{aligned} y = e^x \left( - \sqrt{2} \sin \sqrt{2} x + 3 \cos \sqrt{2} x \right) \end{aligned}$$

である。

問2

(1)

(i)

$$\begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{A} &= y^2 + 4yz + 6yz \\ &= y^2 + 10yz \end{aligned}$$

(ii)

$$\begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} f &= \left( y^2 z, 2xyz, xy^2 \right) \\ \therefore \ \ \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{\nabla} f &= xy^4z + 4xy^3z^2 + 3xy^3z^2 \\ &= xy^4z + 7xy^3z^2 \end{aligned}$$

(iii)

$$\begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \cdot \left( \boldsymbol{\nabla} f \right) &= 0 + 2xz + 0 \\ &= 2xz \end{aligned}$$

(2)

曲線 C に関して、

$$\begin{aligned} \frac{dx(t)}{dt} = - \sin t , \ \ \frac{dy(t)}{dt} = \cos t , \ \ \frac{dz(t)}{dt} = 1 \end{aligned}$$

なので、

$$\begin{aligned} \int_C \left( xdx + 2ydy + z^2 dz \right) &= \int_0^{\pi/2} \left( \cos t \cdot (- \sin t) + 2 \sin t \cos t + t^2 \right) dt \\ &= \int_0^{\pi/2} \left( \sin t \cos t + t^2 \right) dt \\ &= \int_0^{\pi/2} \left( \frac{1}{2} \sin 2t + t^2 \right) dt \\ &= \left[ -\frac{1}{4} \cos 2t + \frac{t^3}{3} \right]_0^{\pi/2} \\ &= \frac{1}{2} + \frac{\pi^3}{24} \end{aligned}$$

問3

(1)

求める複素数の絶対値を $r$ ，偏角を $\theta$ とすると、 $r=1$ であり、 $\theta$ は整数 $n$ を使って、

$$\begin{aligned} 4 \theta &= \pi + 2n \pi \end{aligned}$$

と書ける。 よって、求める複素数は、

$$\begin{aligned} \frac{1+i}{\sqrt{2}} , \ \ \frac{-1+i}{\sqrt{2}} , \ \ \frac{-1-i}{\sqrt{2}} , \ \ \frac{1-i}{\sqrt{2}} \end{aligned}$$

である。

(2)

$$\begin{aligned} \frac{\pi}{\sqrt{2}} \end{aligned}$$

積分の導出：上半平面の極は $z_1=e^{i\pi/4},z_2=e^{3i\pi/4}$ であり、それぞれの留数は $1/(4z_j^3)$ である。半円弧上の積分は半径を無限大にすると0なので、

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{1+x^4} =2\pi i\left(\frac1{4z_1^3}+\frac1{4z_2^3}\right) =\boxed{\frac\pi{\sqrt2}}.$$

問4

(1)

$p$ は積分区間の内部で奇関数なので $a_n=0$（$n\ge0$）である。部分積分より

$$b_n=2\int_0^1x\sin(n\pi x)\,dx =\frac{2(-1)^{n+1}}{n\pi}.$$

空欄の順に $\boxed{\text{\textcircled{1}}=0,\ \text{\textcircled{2}}=0,\ \text{\textcircled{3}}=2/\pi,\ \text{\textcircled{4}}=0,\ \text{\textcircled{5}}=-1/\pi,\ \text{\textcircled{6}}=0,\ \text{\textcircled{7}}=2/(3\pi)}$ となる。

(2)

$$q(x)=\frac2\pi\sin\pi x-\frac1\pi\sin2\pi x+\frac{2}{3\pi}\sin3\pi x.$$

$\int_{-1}^1\sin(n\pi x)\sin(m\pi x)\,dx=\delta_{nm}$ より、

$$\boxed{\text{\textcircled{8}}=\int_{-1}^1q(x)^2\,dx =\frac4{\pi^2}+\frac1{\pi^2}+\frac4{9\pi^2} =\frac{49}{9\pi^2}}.$$

Reference

• 大学公式問題（2019年8月実施、PDF 10–11ページ）