東京工業大学 工学院 機械系 2019年8月実施 選択専門科目 問題5（工業数学）

标签：

• 东京科学大学
• 二阶线性常微分方程
• 初值问题
• 梯度、散度与旋度
• 第一类曲线积分
• 复数根

Author

Miyake

Description

問1

以下の各問いに答えよ。

(1) $y(1+y)+2x\dfrac{dy}{dx}=0$ の一般解を求めよ。

(2) $\dfrac{d^2y}{dx^2}-2\dfrac{dy}{dx}+3y=0$ において，$x=0$ のとき $y=3,\ \dfrac{dy}{dx}=1$ として，関数 $y(x)$ を求めよ。

問2

以下の各問いに答えよ。

(1) 3次元空間におけるベクトル場 $\boldsymbol A=(xy^2,2y^2z,3yz^2)$，スカラー場 $f=xy^2z$ のとき，以下を求めよ。なお，$\boldsymbol i,\boldsymbol j,\boldsymbol k$ は $x,y,z$ 軸方向の単位ベクトルであり，

$$\nabla=\frac{\partial}{\partial x}\boldsymbol i+\frac{\partial}{\partial y}\boldsymbol j+\frac{\partial}{\partial z}\boldsymbol k$$

と定義される。

• (i) $\nabla\cdot\boldsymbol A$
• (ii) $\boldsymbol A\cdot\nabla f$
• (iii) $\nabla\cdot(\nabla f)$

(2) 次の線積分を求めよ。

$$\int_C(x\,dx+2y\,dy+z^2\,dz)$$

ただし，曲線 $C$ は次式で表される。

$$\begin{cases} x(t)=\cos t,\\ y(t)=\sin t,\\ z(t)=t \end{cases} \qquad\left(0\le t\le\frac\pi2\right)$$

問3

以下の各問いに答えよ。

(1) $z^4=-1$ をみたす複素数 $z$ を全て求めよ。

(2) 実関数の積分 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac1{x^4+1}\,dx$ の値を求めよ。

問4

以下の文章において空欄に入る適切な値を求めよ。

周期関数 $f(x)$ は，その周期を $2L$ とすると，以下のフーリエ級数に展開できる。

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{L}+b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\right)$$

ここで，$a_0,a_n,b_n$ は，関数 $f(x)$ のフーリエ係数と呼ばれる。

(1) 以下に示す周期 $2L=2$ の周期関数 $p(x)$ を考える。

$$p(x)=x\qquad(-1<x\le1)$$

この関数のフーリエ係数は，以下のように求められる。

係数	値	係数	値
$a_0$	①
$a_1$	②	$b_1$	③
$a_2$	④	$b_2$	⑤
$a_3$	⑥	$b_3$	⑦

(2) 上記①～⑦のフーリエ係数を用いて関数 $q(x)$ を以下のように定義する。

$$q(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^3\{a_n\cos(n\pi x)+b_n\sin(n\pi x)\}$$

このとき，

$$\int_{-1}^1\{q(x)\}^2\,dx=\boxed{\text{⑧}}$$

と求められる。

题目描述

问1

回答下列问题。

(1) 求 $y(1+y)+2x\dfrac{dy}{dx}=0$ 的通解。

(2) 对微分方程 $\dfrac{d^2y}{dx^2}-2\dfrac{dy}{dx}+3y=0$，已知 $x=0$ 时 $y=3,\ \dfrac{dy}{dx}=1$，求函数 $y(x)$。

问2

回答下列问题。

(1) 三维空间中的向量场为 $\boldsymbol A=(xy^2,2y^2z,3yz^2)$，标量场为 $f=xy^2z$，求下列各式。其中 $\boldsymbol i,\boldsymbol j,\boldsymbol k$ 分别是 $x,y,z$ 轴方向的单位向量，定义

$$\nabla=\frac{\partial}{\partial x}\boldsymbol i+\frac{\partial}{\partial y}\boldsymbol j+\frac{\partial}{\partial z}\boldsymbol k.$$

• (i) $\nabla\cdot\boldsymbol A$
• (ii) $\boldsymbol A\cdot\nabla f$
• (iii) $\nabla\cdot(\nabla f)$

(2) 求线积分

$$\int_C(x\,dx+2y\,dy+z^2\,dz),$$

其中曲线 $C$ 由下式给出：

$$\begin{cases} x(t)=\cos t,\\ y(t)=\sin t,\\ z(t)=t \end{cases} \qquad\left(0\le t\le\frac\pi2\right).$$

问3

回答下列问题。

(1) 求满足 $z^4=-1$ 的全部复数 $z$。

(2) 求实函数积分 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac1{x^4+1}\,dx$ 的值。

问4

求下文各空栏中应填的数值。

周期函数 $f(x)$ 的周期为 $2L$ 时，可展开为以下傅里叶级数：

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{L}+b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\right).$$

其中 $a_0,a_n,b_n$ 称为函数 $f(x)$ 的傅里叶系数。

(1) 考虑图示周期为 $2L=2$ 的周期函数 $p(x)$，其在一周期内为

$$p(x)=x\qquad(-1<x\le1).$$

该函数的傅里叶系数如下。填写各空栏。

系数	数值	系数	数值
$a_0$	①
$a_1$	②	$b_1$	③
$a_2$	④	$b_2$	⑤
$a_3$	⑥	$b_3$	⑦

(2) 用上述①～⑦中的傅里叶系数定义函数

$$q(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^3\{a_n\cos(n\pi x)+b_n\sin(n\pi x)\}.$$

此时可得

$$\int_{-1}^1\{q(x)\}^2\,dx=\boxed{\text{⑧}}.$$

Kai

問1

(1)

$x\ne0$ の区間で $y\ne0,-1$ として変数分離すると

$$\frac{dy}{y(1+y)}=-\frac{dx}{2x},\qquad \log\left|\frac{y}{1+y}\right|=-\frac12\log|x|+C.$$

よって $y/(1+y)=K/\sqrt{|x|}$、したがって

$$\boxed{y=\frac{K}{\sqrt{|x|}-K}}$$

である（分母が0でない区間）。$K=0$ は定数解 $y=0$ を含み、別に定数解 $\boxed{y=-1}$ がある。$x=0$ では方程式から $y(0)=0$ または $-1$ が必要であり、$C^1$ 解として0を含む区間に延長できるのはこの2つの定数解である。

(2)

与えられた微分方程式に $y = e^{\lambda x}$ を代入すると、

$$\begin{aligned} \lambda^2 - 2 \lambda + 3 = 0 \\ \therefore \ \ \lambda = 1 \pm \sqrt{2} i \end{aligned}$$

を得る。 よって、与えられた微分方程式の一般解は、積分定数を $A,B$ として、

$$\begin{aligned} y = e^x \left( A \sin \sqrt{2} x + B \cos \sqrt{2} x \right) \end{aligned}$$

である。 $x=0$ のとき、 $y=3$ から $B=3$ がわかり、 $dy/dx=1$ から $A = - \sqrt{2}$ がわかる。 つまり、求める解は、

$$\begin{aligned} y = e^x \left( - \sqrt{2} \sin \sqrt{2} x + 3 \cos \sqrt{2} x \right) \end{aligned}$$

である。

問2

(1)

(i)

$$\begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{A} &= y^2 + 4yz + 6yz \\ &= y^2 + 10yz \end{aligned}$$

(ii)

$$\begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} f &= \left( y^2 z, 2xyz, xy^2 \right) \\ \therefore \ \ \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{\nabla} f &= xy^4z + 4xy^3z^2 + 3xy^3z^2 \\ &= xy^4z + 7xy^3z^2 \end{aligned}$$

(iii)

$$\begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \cdot \left( \boldsymbol{\nabla} f \right) &= 0 + 2xz + 0 \\ &= 2xz \end{aligned}$$

(2)

曲線 C に関して、

$$\begin{aligned} \frac{dx(t)}{dt} = - \sin t , \ \ \frac{dy(t)}{dt} = \cos t , \ \ \frac{dz(t)}{dt} = 1 \end{aligned}$$

なので、

$$\begin{aligned} &\int_C \left( xdx + 2ydy + z^2 dz \right)\\ &= \int_0^{\pi/2} \left( \cos t \cdot (- \sin t) + 2 \sin t \cos t + t^2 \right) dt \\ &= \int_0^{\pi/2} \left( \sin t \cos t + t^2 \right) dt \\ &= \int_0^{\pi/2} \left( \frac{1}{2} \sin 2t + t^2 \right) dt \\ &= \left[ -\frac{1}{4} \cos 2t + \frac{t^3}{3} \right]_0^{\pi/2} \\ &= \frac{1}{2} + \frac{\pi^3}{24} \end{aligned}$$

問3

(1)

求める複素数の絶対値を $r$ ，偏角を $\theta$ とすると、 $r=1$ であり、 $\theta$ は整数 $n$ を使って、

$$\begin{aligned} 4 \theta &= \pi + 2n \pi \end{aligned}$$

と書ける。 よって、求める複素数は、

$$\begin{aligned} \frac{1+i}{\sqrt{2}} , \ \ \frac{-1+i}{\sqrt{2}} , \ \ \frac{-1-i}{\sqrt{2}} , \ \ \frac{1-i}{\sqrt{2}} \end{aligned}$$

である。

(2)

$$\begin{aligned} \frac{\pi}{\sqrt{2}} \end{aligned}$$

積分の導出：上半平面の極は $z_1=e^{i\pi/4},z_2=e^{3i\pi/4}$ であり、それぞれの留数は $1/(4z_j^3)$ である。半円弧上の積分は半径を無限大にすると0なので、

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{1+x^4} =2\pi i\left(\frac1{4z_1^3}+\frac1{4z_2^3}\right) =\boxed{\frac\pi{\sqrt2}}.$$

問4

(1)

$p$ は積分区間の内部で奇関数なので $a_n=0$（$n\ge0$）である。部分積分より

$$b_n=2\int_0^1x\sin(n\pi x)\,dx =\frac{2(-1)^{n+1}}{n\pi}.$$

空欄の順に

$$\boxed{\begin{aligned} \text{\textcircled{1}}&=0,\quad \text{\textcircled{2}}=0,\quad \text{\textcircled{3}}=2/\pi,\\ \text{\textcircled{4}}&=0,\quad \text{\textcircled{5}}=-1/\pi,\quad \text{\textcircled{6}}=0,\\ \text{\textcircled{7}}&=2/(3\pi) \end{aligned}}$$

となる。

(2)

$$q(x)=\frac2\pi\sin\pi x-\frac1\pi\sin2\pi x+\frac{2}{3\pi}\sin3\pi x.$$

$\int_{-1}^1\sin(n\pi x)\sin(m\pi x)\,dx=\delta_{nm}$ より、

$$\boxed{\text{\textcircled{8}}=\int_{-1}^1q(x)^2\,dx =\frac4{\pi^2}+\frac1{\pi^2}+\frac4{9\pi^2} =\frac{49}{9\pi^2}}.$$

Reference

• 大学公式問題（2019年8月実施、PDF 10–11ページ）