東京工業大学 工学院 機械系 2020年度 選択専門科目 問題4（流体力学）

标签：

• 东京科学大学
• 涡度与流函数
• 边界层积分法

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

問1

二次元複素速度ポテンシャル

$$W(z)=z-4i\ln z=\phi+i\psi,\qquad z=x+iy=re^{i\theta}$$

を考える。$\phi$ は速度ポテンシャル、$\psi$ は流れ関数であり、$u_r=\partial\phi/\partial r$、$u_\theta=r^{-1}\partial\phi/\partial\theta$ である。

1. $\phi(r,\theta),\psi(r,\theta)$ を求めよ。
2. $u_r,u_\theta$ を求めよ。
3. $x$ 軸上の $x=-2,1,4$ を始点とする速度ベクトルを図示せよ。各点での半径方向・周方向成分と大きさも示せ。
4. よどみ点 $u_r=u_\theta=0$ の位置を求めよ。存在しなければ「無」と答えよ。
5. $y$ 軸上の $y=-4,-2,-1,1,2,8$ について(3)と同様に図示せよ。
6. この流れを構成する二つのポテンシャル流れを説明せよ。

問2

速度 $U_\infty$ の一様流中に平行な平板を置いた二次元定常流れを考える。流れ方向を $x$、平板から垂直に離れる方向を $y$ とし、密度 $\rho$、粘性係数、動粘性係数 $\nu$ は一定とする。支配方程式は

$$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0,$$

$$u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y} =-\frac1\rho\frac{\partial p}{\partial x} +\nu\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}\right),$$

$$u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y} =-\frac1\rho\frac{\partial p}{\partial y} +\nu\left(\frac{\partial^2v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2v}{\partial y^2}\right).$$

レイノルズ数が大きく、粘性の影響が厚さ $\delta(x)$ の薄い境界層に限られる場合、近似式

$$\frac{\partial u^2}{\partial x}+\frac{\partial(uv)}{\partial y} =\nu\frac{\partial^2u}{\partial y^2}\tag{ii}$$

が得られる。外縁で $u(x,\delta)=U_\infty$ と近似する。

1. 圧力勾配項と粘性項について用いた近似を、理由とともに述べよ。
2. 壁面で速度0、外縁でせん断応力0とすると

$$\int_0^\delta\frac{\partial u^2}{\partial x}\,dy+[uv]_{y=\delta} =-\nu\left[\frac{\partial u}{\partial y}\right]_{y=0}.$$

連続の式から $v=-\int_0^y(\text{\textcircled{1}})\,dy$。したがって

$$\int_0^\delta\frac{\partial}{\partial x}(\text{\textcircled{2}})\,dy =-\nu\left[\frac{\partial u}{\partial y}\right]_{y=0},\qquad U_\infty^2\frac{d\theta}{dx}=\nu\left[\frac{\partial u}{\partial y}\right]_{y=0},$$

$$\theta=\int_0^\delta\frac{u}{U_\infty}\left(1-\frac{u}{U_\infty}\right)dy.$$

①②に入る式と、$\theta$ の名称③を答えよ。

3. $u=U_\infty f(\eta)$、$\eta=y/\delta(x)$ とおき、$f(\eta)=a\eta^2+b\eta+c$ とする。境界条件から $a,b,c$ を求めよ。
4. 今度は $f(\eta)=\eta$ を用いる。上の積分方程式から $\delta(x)$、局所壁面摩擦応力 $\tau_w$ を求め、$c_f=\tau_w/(\rho U_\infty^2/2)$ を $Re_x=U_\infty x/\nu$ の関数で表せ。

题目描述

问1： 给定 $W=z-4i\ln z=\phi+i\psi$，$z=x+iy=re^{i\theta}$。求势函数、流函数以及径向和周向速度。分别在 $x$ 轴的 $x=-2,1,4$ 和 $y$ 轴的 $y=-4,-2,-1,1,2,8$ 处画出以该点为起点的速度矢量，标明两个极坐标分量及大小。求驻点，并说明该流动由哪两种势流叠加。

问2： 均匀来流 $U_\infty$ 沿平板流动，$x$ 为流向，$y$ 为法向。密度及黏度不变。以所给连续方程和Navier–Stokes方程为起点，说明导出式(ii)时对压强梯度和黏性项的近似。壁面无滑移、外缘 $u=U_\infty$ 且剪切应力为零，填写积分推导中的①②和 $\theta$ 的名称③。设 $u/U_\infty=f(y/\delta)$，先对二次分布求系数，再以线性分布求边界层厚度、壁面剪应力及局部摩擦系数随 $Re_x$ 的关系。

Kai

問1

(1)・(2)

$\ln z=\ln r+i\theta$ を代入すると

$$\boxed{\phi=r\cos\theta+4\theta,\qquad\psi=r\sin\theta-4\ln r},$$

$$\boxed{u_r=\cos\theta,\qquad u_\theta=-\sin\theta+\frac4r}.$$

$u_\theta$ の正方向は反時計回りである。直交座標では

$$u=1-\frac{4y}{x^2+y^2},\qquad v=\frac{4x}{x^2+y^2}\quad((x,y)\ne(0,0)).$$

(3)

点	$u_r$	$u_\theta$	$(u,v)$
$(-2,0)$	$-1$	$2$	$(1,-2)$
$(1,0)$	$1$	$4$	$(1,4)$
$(4,0)$	$1$	$1$	$(1,1)$

$(-2,0)$ では $\boldsymbol e_r$ が左、$\boldsymbol e_\theta$ が下を向くので、$u_r=-1$ の成分は右向きである。

(4)

$u_r=0$ より $\theta=\pi/2,3\pi/2$。$u_\theta=0$ を満たすのは $\theta=\pi/2,r=4$ のみ。よって

$$\boxed{(x,y)=(0,4)}.$$

(5)

点	$u_r$	$u_\theta$	$(u,v)$
$(0,-4)$	$0$	$2$	$(2,0)$
$(0,-2)$	$0$	$3$	$(3,0)$
$(0,-1)$	$0$	$5$	$(5,0)$
$(0,1)$	$0$	$3$	$(-3,0)$
$(0,2)$	$0$	$1$	$(-1,0)$
$(0,8)$	$0$	$-1/2$	$(1/2,0)$

各成分の大きさは表の値の絶対値である。正の $y$ 軸では $\boldsymbol e_\theta$ は左、負の $y$ 軸では右を向く。

(6)

$W=z$ は $x$ 正方向の速度1の一様流、$W=-4i\ln z$ は原点を中心とする反時計回りの自由渦である。$W=-i\Gamma\ln z/(2\pi)$ より循環は $\boxed{\Gamma=8\pi}$。

問2

(1)

境界層が薄いため、$y$ 方向運動方程式から $\partial p/\partial y\simeq0$。層外は一様な非粘性流れなので圧力が一定であり、層内も $\partial p/\partial x\simeq0$ とする。また $\delta\ll x$ より $|\partial^2u/\partial x^2|\ll|\partial^2u/\partial y^2|$ で、流れ方向の粘性拡散を無視する。

連続の式を用いると $u u_x+v u_y=(u^2)_x+(uv)_y$ なので式(ii)が得られる。

(2)

連続の式の積分より

$$\boxed{\text{\textcircled{1}}=\frac{\partial u}{\partial x}}.$$

外縁の $uv=U_\infty v(\delta)$ を代入して

$$\boxed{\text{\textcircled{2}}=u^2-U_\infty u,\qquad \text{\textcircled{3}}=\text{運動量厚さ}}.$$

外縁で $u^2-U_\infty u=0$ なので、可変上端を含む微分でも境界項は消える。$\int_0^\delta(u^2-U_\infty u)dy=-U_\infty^2\theta$ より所定の積分式を得る。

(3)

壁面と外縁の条件は $f(0)=0,f(1)=1,f'(1)=0$。よって

$$\boxed{a=-1,\quad b=2,\quad c=0},\qquad f(\eta)=2\eta-\eta^2.$$

(4)

線形近似では $\theta=\delta\int_0^1\eta(1-\eta)d\eta=\delta/6$、$u_y|_0=U_\infty/\delta$。指定された積分方程式から

$$\delta\frac{d\delta}{dx}=\frac{6\nu}{U_\infty}.$$

平板先端で $\delta(0)=0$ として

$$\boxed{\delta(x)=\sqrt{\frac{12\nu x}{U_\infty}},\qquad \tau_w=\rho\nu\frac{U_\infty}{\delta} =\rho U_\infty\sqrt{\frac{\nu U_\infty}{12x}},\qquad c_f=\frac1{\sqrt{3Re_x}}}.$$

線形分布は外縁の勾配ゼロ条件を厳密には満たさないが、ここでは設問で指定された積分近似として用いる。

Reference

• 大学公式問題（2019年8月実施、PDF 8–9ページ）