東京工業大学 工学院 機械系 2020年度 選択専門科目 問題3（熱力学）

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• 东京科学大学
• 相平衡
• 热泵与制冷
• 理想气体的熵与热容
• 奥托循环

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

問1

火力発電の蒸気原動機サイクルはボイラ、タービン、復水器、ポンプから構成される。低圧の液水をポンプで断熱圧縮し、ボイラで等圧加熱する。以下の①〜⑤には語句、⑥⑦には選択肢から適切なものを答えよ。

①液から蒸発が始まり、気液が共存する②蒸気を経て、蒸発完了時に③蒸気となる。さらに加熱されて④蒸気としてタービンに入り、出口では⑤蒸気となる。

• ⑥ 当該試験時点での材料の耐熱性によるタービン入口温度の目安：$600,900,1200,1500,1800\ \mathrm K$。
• ⑦ 設計上のタービン出口の乾き度：8〜10%、28〜30%、48〜50%、68〜70%、88〜90%。

問2

各項で適切な選択肢を一つ選べ。

1. 比熱と同じ単位をもつもの：気体定数、潜熱、顕熱、エンタルピー。
2. 比熱比が最大のもの：単原子分子気体、二原子分子気体、高分子、金属。
3. 理想気体の等積変化のポリトロープ指数：$0,1,\kappa,\infty$。
4. 絞り弁前後で一定とみなせる量：エントロピー、エンタルピー、内部エネルギー、自由エネルギー。
5. 理想気体を入れた容器Aを真空の容器と管でつなぎ自由膨張させると、気体温度は：上がる、下がる、変わらない。

問3

外気温 $3^\circ\mathrm C$ のとき、消費電力 $3600\ \mathrm W$ の電熱ヒーターで室内を $23^\circ\mathrm C$ に保つ。

1. 成績係数3のヒートポンプで同じ暖房を行う場合の消費電力 $L$。
2. 可逆ヒートポンプで同じ暖房を行う場合の消費電力 $L_R$。
3. 電熱ヒーターと可逆ヒートポンプの暖房成績係数 $\varepsilon_0,\varepsilon_R$。

問4

理想気体について空欄①〜⑥を埋めよ。使用記号は比気体定数 $R\,[\mathrm{J/(kg\,K)}]$、比熱比 $\kappa$、絶対温度 $T$、圧力 $p$、体積 $V$、質量 $m$、ボルツマン定数 $k_B$、アボガドロ数 $N_A$、変化後と変化前の温度差 $\Delta T$ である。

1. 単原子分子気体の1分子・並進1自由度あたりの平均エネルギー①と、1 molの内部エネルギー②。
2. 単位質量あたりの定圧比熱 $c_p$ を③、定積比熱 $c_v$ を④で表せ。
3. 密閉シリンダ中の理想気体が準静的に断熱膨張するとき、⑤は一定であり、外界にする仕事は⑥である。$c_p,c_v$ も用いてよい。

問5

単位質量の理想気体を作動ガスとする図1(a)のサイクルを考える。1–2、3–4は断熱変化、2–3、4–1は等積変化である。$p,v,T,s$ は圧力、比体積、絶対温度、比エントロピー、$c_p,c_v$ は比熱、$q_{\rm in},q_{\rm out}$ は受熱量と放熱量を表す。

1. サイクルの名称を答え、対応する $T$–$s$ 線図を(b)〜(e)から選べ。
2. $q_{\rm in}$ を $p_2,p_3,T_2,T_3,c_p,c_v$ のうち必要な記号で表せ。
3. 熱効率 $\eta$ を $T_1,T_2,T_3,T_4$ で表せ。

题目描述

问1： 蒸汽动力循环的工质依次经过泵、锅炉、汽轮机和冷凝器。填写开始沸腾的液体①、气液共存蒸汽②、恰好完全蒸发的蒸汽③、继续加热后的蒸汽④和汽轮机出口蒸汽⑤的状态名称。从 $600,900,1200,1500,1800\ \mathrm K$ 中选择考试当时汽轮机入口温度的典型上限⑥，并从8—10%、28—30%、48—50%、68—70%、88—90%中选择出口干度范围⑦。

问2： 分别从日文列出的选项中选择：与比热单位相同的量、比热比最大的物质类别、等容过程的多变指数、节流前后不变的量，以及理想气体向真空自由膨胀后的温度变化。

问3： 室外 $3^\circ\mathrm C$、室内 $23^\circ\mathrm C$，电热器消耗 $3600\ \mathrm W$。求相同供热量下COP为3的热泵和可逆热泵的耗电功率，以及电热器、可逆热泵的供热COP。

问4： 使用上列符号，求单原子理想气体每分子每个平动自由度的平均能量①、每摩尔内能②、质量比热 $c_p,c_v$③④，以及封闭系统准静态绝热膨胀中保持不变的组合量⑤和对外做功⑥。$R$ 是质量气体常数，$\Delta T$ 为末温减初温。

问5： 图(a)以单位质量理想气体工作，1–2、3–4绝热，2–3、4–1等容。求循环名称、对应的 $T$–$s$ 图、吸热量 $q_{\rm in}$，以及用四个状态温度表示的效率。

Kai

問1

$$\boxed{\text{\textcircled{1}}=\text{飽和},\quad \text{\textcircled{2}}=\text{湿り},\quad \text{\textcircled{3}}=\text{乾き飽和},\quad \text{\textcircled{4}}=\text{過熱},\quad \text{\textcircled{5}}=\text{湿り}}.$$

主蒸気温度が約 $600^\circ\mathrm C$ 級の蒸気タービンを考えると、選択肢では $900\ \mathrm K$ が該当する。出口の湿りは液滴による損傷と効率低下を招くため、乾き度は高く保つ。

$$\boxed{\text{\textcircled{6}}=900\ \mathrm K,\qquad \text{\textcircled{7}}=88\text{〜}90\%}.$$

問2

1. $\boxed{\text{気体定数}}$。比気体定数と質量比熱の単位はともに $\mathrm{J/(kg\,K)}$。
2. $\boxed{\text{単原子分子気体}}$。並進自由度3の理想気体では $c_p/c_v=5/3$。
3. $\boxed{\infty}$。$pv^n=\text{一定}$ を $p^{1/n}v=\text{一定}$ として $n\to\infty$ をとる。
4. $\boxed{\text{エンタルピー}}$。断熱・軸仕事なしで運動・位置エネルギー変化を無視すれば $h_1=h_2$。
5. $\boxed{\text{変わらない}}$。自由膨張の全体系を断熱とみなし、最終平衡状態を比較すると $Q=W=0$、$\Delta U=0$。理想気体では $U=U(T)$ である。

問3

必要な暖房熱量率は $\dot Q_H=3600\ \mathrm W$、$T_H=296.15\ \mathrm K$、$T_L=276.15\ \mathrm K$。

$$\boxed{L=\frac{3600}{3}=1200\ \mathrm W}.$$

可逆熱機関のエントロピー収支から $\varepsilon_R=T_H/(T_H-T_L)$ なので

$$\boxed{L_R=3600\frac{20}{296.15}\simeq243\ \mathrm W},\qquad \boxed{\varepsilon_0=1,\quad \varepsilon_R=14.8075\simeq14.8}.$$

問4

エネルギー等分配則、$c_p-c_v=R$、$c_p/c_v=\kappa$ より

$$\boxed{\text{\textcircled{1}}=\frac12k_BT,\quad \text{\textcircled{2}}=\frac32N_Ak_BT,\quad \text{\textcircled{3}}=\frac{\kappa R}{\kappa-1},\quad \text{\textcircled{4}}=\frac{R}{\kappa-1}}.$$

準静的な断熱変化を可逆断熱として扱うと、ポアソンの関係が成り立つ。仕事は内エネルギーの減少量である。

$$\boxed{\text{\textcircled{5}}=pV^\kappa\quad\text{（または }TV^{\kappa-1}\text{）},\qquad \text{\textcircled{6}}=W=-mc_v\Delta T=-\frac{mR\Delta T}{\kappa-1}}.$$

膨張では $\Delta T<0$ なので $W>0$。

問5

1. $\boxed{\text{オットーサイクル、図(c)}}$。可逆断熱線は $T$–$s$ 図で鉛直、等積加熱では $ds=c_v\,dT/T>0$。
2. 等積過程2–3では境界仕事が0なので

$$\boxed{q_{\rm in}=c_v(T_3-T_2)}.$$

3. 同様に $q_{\rm out}=c_v(T_4-T_1)$。したがって

$$\boxed{\eta=1-\frac{T_4-T_1}{T_3-T_2}}.$$

Reference

• 大学公式問題（2019年8月実施、PDF 6–7ページ）