東京工業大学工学院機械系 2020年度選択専門科目問題2（機械力学）

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祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

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問1

質量 $m$ 、粘性減衰係数 $c$ 、ばね剛性 $k$ の不足減衰1自由度系を考える。変位 $x$ 、励振力 $f$ は同じ向きを正にとる。

(1) 以下の(a)〜(e)について正誤を判定し、誤りがあれば訂正せよ。

(a) 固有角振動数は $\omega_n=2\pi\sqrt{k/m}$ 、単位は $\mathrm{rad/s}$ である。
(b) 減衰比は $\zeta=c/\sqrt{2mk}$ であり、 $\zeta>1$ である。
(c) 減衰固有角振動数は $\omega_d=\omega_n\sqrt{\zeta^2-1}$ である。
(d) 初期変位 $x_0$ 、初期速度 $v_0$ に対する自由応答は $x(t)=Ae^{-\zeta\omega_nt}\sin(\omega_dt+\phi)$ と書ける。その振幅と位相は次式である。

A=\sqrt{x_0^2+\left(\frac{v_0+\zeta\omega_nx_0}{\omega_d}\right)^2},\qquad \phi=\sin^{-1}\frac{x_0}{A}=\cos^{-1}\frac{v_0+\zeta\omega_nx_0}{A\omega_d}.

(e) $i^2=-1$ 、 $f(t)=Fe^{i\omega t}$ 、 $x(t)=X(i\omega)e^{i\omega t}$ とすると、周波数応答関数は $X(i\omega)/F=1/(-m\omega^2+ic\omega-k)$ である。

(2) 次の(f)〜(j)についても正誤を判定し、誤りの箇所を示せ。

(f) 周囲の流体は多くの場合減衰を与えるが、流体力が原因で共振が生じる場合もある。
(g) 複数の振動モードが応答に現れる場合、多モード振動系でモデル化する必要がある。
(h) ラグランジアンは運動エネルギー $T$ とポテンシャルエネルギー $U$ の和である。
(i) 回転体の加速時に危険速度を通る場合、できるだけゆっくり回転数を上げて通過する必要がある。
(j) 分数調波共振やリミットサイクルを説明するには非線形振動系モデルが必要である。

問2

下から床、質量を無視できるねじり弾性軸1、剛体円板1、同じく質量を無視できる弾性軸2、剛体円板2の順に連結されている。床に軸1の下端を固定する。各軸のねじりばね定数は $k_1,k_2$ 、各円板の慣性モーメントは $J_1,J_2$ 。静的平衡位置から、床に固定した座標系で測った角変位を $\theta_1,\theta_2$ とする。両円板を微小角ねじって静かに放す。

自由振動の運動方程式を求めよ。
$\boldsymbol x=(\theta_1,\theta_2)^T$ 、 $M\ddot{\boldsymbol x}+K\boldsymbol x=0$ の $M,K$ を求めよ。
$\boldsymbol x=\boldsymbol u e^{i\omega t}$ 、 $\boldsymbol u\ne0$ が可能となる $\omega$ の多項式を示せ。
$J_1/J_2=3/4$ 、 $\Omega^2=k_1/J_1=k_2/J_2$ とする。固有角振動数 $\omega_1<\omega_2$ について $\omega_1^2=\alpha\Omega^2,\omega_2^2=\beta\Omega^2$ を満たす $\alpha,\beta$ を求めよ。
上記条件で、各モードの第1成分を1とした固有振動モードを求めよ。

题目描述

问1： 对质量 $m$ 、阻尼 $c$ 、刚度 $k$ 的欠阻尼单自由度系统，判断(a)—(e)中固有角频率、阻尼比、阻尼固有角频率、自由响应的振幅与相位、频率响应函数是否正确，并改正错误。初值为 $x_0,v_0$ ，各待判公式见上文。(f)—(j)依次判断流体力能否引起共振、多模态响应是否需要多模态模型、拉格朗日量是否为 $T+U$ 、通过临界转速是否应缓慢加速、分谐波共振和极限环是否需要非线性模型。

问2： 床—轴1—圆盘1—轴2—圆盘2依次连接，轴质量忽略，床固定。扭转刚度为 $k_1,k_2$ ，圆盘惯性矩为 $J_1,J_2$ ，相对于固定坐标系的平衡位置角位移为 $\theta_1,\theta_2$ 。求微幅自由振动方程、质量与刚度矩阵、频率方程。在 $J_1/J_2=3/4$ 、 $k_1/J_1=k_2/J_2=\Omega^2$ 时求两阶固有频率系数 $\alpha,\beta$ 及首分量归一为1的振型。

Kai

問1(1)

運動方程式 $m\ddot x+c\dot x+kx=f$ より

\boxed{\omega_n=\sqrt{k/m},\quad \zeta=\frac{c}{2\sqrt{mk}},\quad \omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}},\qquad 0<\zeta<1.

よって(a)、(b)、(c)はいずれも誤り。(a)の単位 $\mathrm{rad/s}$ は正しい。(b)は係数と不等号の両方を訂正する。

(d)の振幅は正しい。初期条件から

A\sin\phi=x_0,\qquad A\cos\phi=\frac{v_0+\zeta\omega_nx_0}{\omega_d}

であり、二乗和が与えられた $A^2$ となる。ただし、逆三角関数を通常の主値と読むと、位相の二つの等式は一般には正しくない。例えば $x_0=0,v_0<0$ では $\sin^{-1}0=0$ 、 $\cos^{-1}(-1)=\pi$ となる。任意の初期条件に対する訂正式は

\boxed{\phi=\operatorname{atan2}\!\left(\omega_d x_0,\ v_0+\zeta\omega_nx_0\right)\pmod{2\pi}}.

$A=0$ では $x(t)=0$ で位相は任意である。原式を多価の逆関数として用いる場合には、上の正弦・余弦の二条件を同時に満たす枝を選ぶ必要がある。

(e)は誤り。複素応答を運動方程式に代入すると

\boxed{\frac{X(i\omega)}F=\frac1{k-m\omega^2+ic\omega}}.

問1(2)

文	判定・根拠または訂正
(f)	正しい。流体力の周期成分による共振・渦励振などが起こり得る。
(g)	正しい。複数の独立なモード座標をもつモデルが必要である。
(h)	誤り。「和」を「差」に訂正し、 $L=T-U$ とする。
(i)	誤り。共振域に滞在する時間を短くし、速やかに通過させる。
(j)	正しい。線形系の重ね合わせでは分数調波応答や孤立した周期軌道を表せない。

問2

(1)・(2)

上側軸のねじれ角は $\theta_2-\theta_1$ であるから

\boxed{J_1\ddot\theta_1+(k_1+k_2)\theta_1-k_2\theta_2=0,\qquad J_2\ddot\theta_2-k_2\theta_1+k_2\theta_2=0}.

\boxed{M=\begin{pmatrix}J_1&0\\0&J_2\end{pmatrix},\qquad K=\begin{pmatrix}k_1+k_2&-k_2\\-k_2&k_2\end{pmatrix}}.

(3)

非零解の条件は $\det(K-\omega^2M)=0$ 、すなわち

\boxed{J_1J_2\omega^4-\{J_1k_2+J_2(k_1+k_2)\}\omega^2+k_1k_2=0}.

(4)・(5)

$\lambda=\omega^2/\Omega^2$ とおくと

\lambda^2-\left(2+\frac{J_2}{J_1}\right)\lambda+1 =\lambda^2-\frac{10}{3}\lambda+1=0.

したがって $\boxed{\alpha=1/3,\ \beta=3}$ 。固有ベクトルの第2行から $\varphi_2=1/(1-\lambda)$ なので

\boxed{\boldsymbol\varphi_1=\begin{pmatrix}1\\3/2\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol\varphi_2=\begin{pmatrix}1\\-1/2\end{pmatrix}}.

Reference

大学公式問題（2019年8月実施、PDF 4–5ページ）

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問1​

問2​

题目描述​

Kai​

問1(1)​

問1(2)​

問2​

(1)・(2)​

(3)​

(4)・(5)​

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