東京工業大学 工学院 機械系 2020年度 選択専門科目 問題1（材料力学）

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• 东京科学大学
• 热变形协调条件
• 梁的挠度
• 应力变换与主应力
• 屈服

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

空欄①〜㉝に入る式または語句を答えよ。

問1

図1の段付丸棒ABCは両端を動かない剛体壁に固定されている。縦弾性係数を $E$、線膨張係数を $\alpha$ とし、ABの直径・長さは $d,L$、BCの直径・長さは $2d,L$ である。温度が $\Delta T$ 上昇するとき、自重を無視して以下を求めよ。

1. 壁がなく自由に伸びるとき、ABの伸び①、BCの伸び②。
2. 壁から作用する反力を圧縮力 $R$ とする。同じ力を自由な棒に作用させたとき、ABの縮み③、BCの縮み④。
3. 上記の適合条件から求まる反力⑤。
4. Bの変位方向⑥と変位の大きさ⑦。

問2

図2の一様長方形断面の片持ちはりは高さ $h$、幅 $b$、長さ $L$、縦弾性係数 $E$ をもつ。自由端Aを $x=0$、固定端Bを $x=L$、下向きを $y$ の正方向とし、下向きの分布荷重 $w(x)=w_0x/L$ を受ける。自重を無視する。

1. 中立軸に関する断面二次モーメント⑧。
2. せん断力⑨、曲げモーメント⑩。
3. 上面 $y=-h/2$ の曲げ応力⑪とその最大値⑫。
4. たわみ⑬とその最大値⑭。
5. Aに上向きの集中荷重を加えてAのたわみを0にする。その荷重の大きさ⑮。

問3

平面応力成分 $\sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy}$ に対して、法線が $x$ 軸となす角を $\alpha$ とする面の垂直応力とせん断応力は

$$\sigma=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}+\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos2\alpha+\tau_{xy}\sin2\alpha, \qquad \tau=-\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin2\alpha+\tau_{xy}\cos2\alpha$$

である。角度を消去した円の方程式を $[\sigma-(\text{\textcircled{16}})]^2+\tau^2=(\text{\textcircled{17}})$ と表す。この円の名称⑱と、$\sigma$ 軸との交点の $\sigma$ 座標が表す応力の名称⑲を答えよ。

図4(a)では垂直応力がなく、右面に上向き、上面に右向きのせん断応力 $\tau_0>0$ が作用する。この状態の名称⑳、対応する円の半径㉑、$x$ 軸を法線とする面に対応する図4(b)の点㉒、法線が反時計回りに $\alpha$ 傾いた面に対応する点㉓を答えよ。図4(b)の $\tau$ 軸は下向きで、隣接する候補点の中心角は $2\alpha$ である。

問4

アルミニウム合金、鋳鉄、低炭素鋼の引張試験結果が図5のA、B、Cである。

1. A、B、Cの材料名㉔、㉕、㉖。
2. Aのようにほとんど変形せず破壊する材料は㉗材料と呼ばれる。
3. Bのaからbで生じる現象㉘を答えよ。実用上、bの応力を㉘点と呼ぶ。cから除荷した後に残る $\varepsilon_p$ の名称㉙、形が元に戻らない性質㉚、0.2%の㉙を生じる応力の名称㉛を答えよ。
4. dでの応力の名称㉜と、それを超えて変形が進むとき試験片に局所的に生じる現象㉝。

题目描述

填写①—㉝。

问1： 两端固定阶梯圆杆AB、BC的长度均为 $L$，直径分别为 $d,2d$，材料参数为 $E,\alpha$，升温 $\Delta T$，忽略自重。求自由热伸长①②、同一轴向压力 $R$ 引起的缩短③④、固定条件下的反力⑤，以及B的位移方向⑥和大小⑦。

问2： 宽 $b$、高 $h$、长 $L$、弹性模量 $E$ 的悬臂梁，A端自由且 $x=0$，B端固定且 $x=L$，$y$ 向下。载荷 $w_0x/L$ 向下，忽略自重。求截面惯性矩⑧、剪力⑨、弯矩⑩、上表面 $y=-h/2$ 的应力⑪及最大值⑫、挠度⑬及最大值⑭，以及令A端挠度为零所需的向上集中力⑮。

问3： 利用所给平面应力变换式，求圆方程的中心横坐标⑯及半径平方⑰、圆的名称⑱和横轴交点的意义⑲。图4(a)只有剪应力 $\tau_0>0$；求应力状态名称⑳和圆半径㉑。在剪应力正轴向下的图4(b)中，选出 $x$ 法向面对应点㉒及法向逆时针转过 $\alpha$ 的面对应点㉓，相邻候选点的圆心角为 $2\alpha$。

问4： 从图5识别铝合金、铸铁、低碳钢三种材料㉔—㉖，填写：A所属的材料变形类别㉗、a到b的现象㉘、卸载后残留应变的名称㉙、形状无法恢复的性质㉚、产生0.2%残留应变时的应力名称㉛、d处应力名称㉜及其后出现的局部变形现象㉝。

Kai

問1

断面積は $A_1=\pi d^2/4$、$A_2=\pi d^2$ である。

$$\boxed{\text{\textcircled{1}}=\text{\textcircled{2}}=\alpha L\Delta T,\quad \text{\textcircled{3}}=\frac{4RL}{\pi Ed^2},\quad \text{\textcircled{4}}=\frac{RL}{\pi Ed^2}}.$$

全長不変より $2\alpha L\Delta T=5RL/(\pi Ed^2)$ なので

$$\boxed{\text{\textcircled{5}}=R=\frac{2\pi\alpha Ed^2\Delta T}{5}}.$$

AからB向きを正にとると $\delta_B=\alpha L\Delta T-RL/(EA_1)=-3\alpha L\Delta T/5$。したがって

$$\boxed{\text{\textcircled{6}}=\text{Aの方向},\qquad \text{\textcircled{7}}=\frac35\alpha L\Delta T}.$$

問2

下面を引張とする曲げモーメントを正にとり、$\sigma=My/I$、$F=dM/dx$ とする。自由端側の荷重の合力は $w_0x^2/(2L)$、切断面までの腕は $x/3$ である。

$$\boxed{\text{\textcircled{8}}=I=\frac{bh^3}{12},\quad \text{\textcircled{9}}=F=-\frac{w_0x^2}{2L},\quad \text{\textcircled{10}}=M=-\frac{w_0x^3}{6L}}.$$

上面には引張応力が生じる。

$$\boxed{\text{\textcircled{11}}=\frac{w_0x^3}{Lbh^2},\qquad \text{\textcircled{12}}=\frac{w_0L^2}{bh^2}\quad(x=L)}.$$

下向きのたわみを $v$ とすると $EI v''=-M$。$v(L)=v'(L)=0$ を用いて

$$\boxed{\text{\textcircled{13}}=v(x)=\frac{w_0}{120EIL}(x^5-5L^4x+4L^5)}.$$

$v'(x)=w_0(x^4-L^4)/(24EIL)\le0$ より、最大は自由端である。

$$\boxed{\text{\textcircled{14}}=v(0)=\frac{w_0L^4}{30EI}=\frac{2w_0L^4}{5Ebh^3}}.$$

上向き集中荷重 $P$ によるAの上向き変位は $PL^3/(3EI)$。重ね合わせから

$$\boxed{\text{\textcircled{15}}=P=\frac{w_0L}{10}}.$$

問3

変換式を二乗して加えると

$$\left(\sigma-\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\right)^2+\tau^2 =\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2.$$

したがって

$$\boxed{\text{\textcircled{16}}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2},\quad \text{\textcircled{17}}=\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2,\quad \text{\textcircled{18}}=\text{モールの応力円},\quad \text{\textcircled{19}}=\text{主応力}}.$$

図4(a)は $\sigma_x=\sigma_y=0,\tau_{xy}=\tau_0$ なので

$$\boxed{\text{\textcircled{20}}=\text{純粋せん断},\qquad \text{\textcircled{21}}=\tau_0}.$$

$x$ 面は $(\sigma,\tau)=(0,\tau_0)$、傾いた面は $(\tau_0\sin2\alpha,\tau_0\cos2\alpha)$ である。$\tau$ 軸が下向きであることに注意すると

$$\boxed{\text{\textcircled{22}}=(\text{ク}),\qquad \text{\textcircled{23}}=(\text{キ})}.$$

問4

空欄	解答
㉔、㉕、㉖	鋳鉄、低炭素鋼、アルミニウム合金
㉗	ぜい性（脆性）
㉘	降伏
㉙	永久ひずみ（塑性ひずみ）
㉚	塑性
㉛	耐力（0.2%耐力）
㉜	引張強さ
㉝	くびれ（ネッキング）

Aは破断までの塑性変形が小さく、Bは明瞭な降伏点をもち、Cは明瞭な降伏点をもたない。除荷時に回復するのは弾性ひずみであり、残るひずみが $\varepsilon_p$ である。

Reference

• 大学公式問題（2019年8月実施、PDF 2–3ページ）