東京工業大学 工学院 機械系 2019年8月実施 選択専門科目 問題1（材料力学）

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• 东京科学大学
• 热变形协调条件
• 梁的挠度
• 应力变换与主应力
• 屈服

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 6 Astra)

Description

下記の空欄①～㉝のそれぞれに当てはまる適切な数式または語句などを答えよ。

問1

図1に示すように，動かない剛体壁に両端が固定された段付丸棒 ABC がある。棒の材料の縦弾性係数は $E$，線膨張係数は $\alpha$ であり，区間 AB の直径は $d$ で長さは $L$，区間 BC の直径は $2d$ で長さは $L$ である。棒の温度が $\Delta T$ 上昇した場合について考える。ただし，棒の自重により生じる応力や変形は無視せよ。

(1) 壁に固定されていない状態で温度が $\Delta T$ 上昇すれば，棒は自由に伸縮できる。このときの区間 AB の伸びは【①】，区間 BC の伸びは【②】で表される。

(2) 壁に固定された状態で温度が $\Delta T$ 上昇すれば，棒の両端には壁から反力 $R$ が作用する。壁に固定されていない状態でこれと同じ反力 $R$ が作用する場合，区間 AB の縮みは【③】，区間 BC の縮みは【④】で表される。

(3) 前述した (1) と (2) の結果を用いると，反力 $R$ は【⑤】と求められる。

(4) 段部 B は【⑥】方向に【⑦】だけ変位する。

問2

図2に示すように，一様長方形断面の片持ちはり（高さ $h$，幅 $b$，長さ $L$，縦弾性係数 $E$）に，単位長さあたり $w(x)=w_0x/L$ で表される分布荷重が作用している。ただし，はりの自重により生じる応力や変形は無視せよ。

(1) このはりの中立軸に関する断面二次モーメントは【⑧】である。

(2) はりに生じるせん断力は【⑨】，曲げモーメントは【⑩】で表される。

(3) はりの上面（$y=-h/2$ の面）に生じる曲げ応力は【⑪】で表され，その最大値は【⑫】で表される。

(4) はりのたわみは【⑬】で表され，その最大値は【⑭】で表される。

(5) はりの自由端 A に上向きの集中荷重を作用させて自由端 A のたわみを $0$ にするとき，集中荷重の大きさは【⑮】である。

問3

図3に示すように，一様な平面応力状態にある単位厚さの微小三角形 OAB に応力成分 $\sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy}$ が作用している。このとき斜面 AB に作用する応力成分 $\sigma$ と $\tau$ は，三角形 OAB に関する力の釣り合いによって，次式のように表される。

$$\begin{aligned} \sigma &=\sigma_x\cos^2\alpha+\sigma_y\sin^2\alpha+2\tau_{xy}\sin\alpha\cos\alpha\\ &=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}+\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos2\alpha+\tau_{xy}\sin2\alpha \end{aligned}\tag{1}$$

$$\begin{aligned} \tau &=-(\sigma_x-\sigma_y)\sin\alpha\cos\alpha+\tau_{xy}(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)\\ &=-\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin2\alpha+\tau_{xy}\cos2\alpha \end{aligned}\tag{2}$$

上式を変形すると，次式の円の方程式が得られる。

$$\left[\sigma-\left(\boxed{\text{⑯}}\right)\right]^2+\tau^2=\left(\boxed{\text{⑰}}\right)\tag{3}$$

上式で表される円を【⑱】と呼び，円と $\sigma$ 軸との交点の $\sigma$ 座標値は【⑲】を表す。

図4(a)で示される【⑳】と呼ばれる応力状態の場合，この円は図4(b)のようになり，円の半径は【㉑】となる。このとき，図4(a)の $x$ 軸を法線とする面に作用する応力は図4(b)の点【㉒】，図4(a)の $x$ 軸から $\alpha$ だけ傾いたベクトル $\boldsymbol n$ を法線とする平面に作用する応力は図4(b)の点【㉓】で表される。

問4

アルミニウム合金，鋳鉄，低炭素鋼の引張試験をした結果，図5の実線で示される3種類の応力－ひずみ線図が得られた。

(1) 試料 A，B，C はそれぞれ【㉔】，【㉕】，【㉖】である。

(2) 試料 A のようにほとんど変形せずに破壊に至る材料を【㉗】材料，試料 B，C のようにある応力を超えるとわずかな荷重増でも大きく変形する材料を延性材料という。

(3) 試料 B における a から b の過程で生じている現象を【㉘】と呼び，実用上は b での応力を【㉘】点と呼ぶ。そして，c で除荷しても【㉙】と呼ばれるひずみ $\varepsilon_p$ が生じて，形状が元に戻らなくなる。この性質を【㉚】と呼ぶ。試料 A，C の場合，$0.2\%$ の【㉙】が生じる応力を【㉛】と呼び，これを【㉘】点として用いる。

(4) 試料 B の d における応力は【㉜】と呼ばれ，材料の強度の指標となる。これを超えてひずみが増加すると試験片に局所的な【㉝】が発生する。

题目描述

回答下列空栏①～㉝中各自应填的数学式、术语等。

问1

如图1，阶梯圆杆 ABC 的两端固定在不动的刚性墙上。杆材料的杨氏模量为 $E$，线膨胀系数为 $\alpha$；AB 段直径为 $d$、长度为 $L$，BC 段直径为 $2d$、长度为 $L$。考虑杆温度升高 $\Delta T$ 的情况。忽略杆自重引起的应力和变形。

(1) 若杆未固定在墙上，温度升高 $\Delta T$ 时可自由伸缩。此时 AB 段的伸长为【①】，BC 段的伸长为【②】。

(2) 若杆固定在墙上，温度升高 $\Delta T$ 时，两端会受到墙的反力 $R$。在未固定于墙的状态下施加相同的反力 $R$ 时，AB 段的缩短为【③】，BC 段的缩短为【④】。

(3) 利用上述 (1)、(2) 的结果，求得反力 $R$ 为【⑤】。

(4) 阶梯处 B 沿【⑥】方向位移【⑦】。

问2

如图2，均匀矩形截面的悬臂梁（高 $h$、宽 $b$、长 $L$、杨氏模量 $E$）受到单位长度上大小为 $w(x)=w_0x/L$ 的分布载荷。忽略梁自重引起的应力和变形。

(1) 梁相对于中性轴的截面二次矩为【⑧】。

(2) 梁内的剪力为【⑨】，弯矩为【⑩】。

(3) 梁上表面（$y=-h/2$ 的面）的弯曲应力为【⑪】，其最大值为【⑫】。

(4) 梁的挠度为【⑬】，其最大值为【⑭】。

(5) 在梁的自由端 A 施加向上的集中载荷，使 A 端挠度为 $0$，此集中载荷的大小为【⑮】。

问3

如图3，处于均匀平面应力状态、厚度为单位长度的微小三角形 OAB 上作用有应力分量 $\sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy}$。由三角形 OAB 的力平衡，斜面 AB 上的应力分量 $\sigma$ 和 $\tau$ 可表示为

$$\begin{aligned} \sigma &=\sigma_x\cos^2\alpha+\sigma_y\sin^2\alpha+2\tau_{xy}\sin\alpha\cos\alpha\\ &=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}+\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos2\alpha+\tau_{xy}\sin2\alpha, \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \tau &=-(\sigma_x-\sigma_y)\sin\alpha\cos\alpha+\tau_{xy}(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)\\ &=-\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin2\alpha+\tau_{xy}\cos2\alpha. \end{aligned}$$

变形可得到如下圆方程：

$$\left[\sigma-\left(\boxed{\text{⑯}}\right)\right]^2+\tau^2=\left(\boxed{\text{⑰}}\right).$$

该圆称为【⑱】，圆与 $\sigma$ 轴交点的 $\sigma$ 坐标值表示【⑲】。

图4(a)所示应力状态称为【⑳】，相应的圆如图4(b)，圆的半径为【㉑】。此时，以图4(a)的 $x$ 轴为法线的面上所受应力对应图4(b)的点【㉒】；以相对于 $x$ 轴倾斜 $\alpha$ 的向量 $\boldsymbol n$ 为法线的平面上所受应力对应图4(b)的点【㉓】。

问4

对铝合金、铸铁、低碳钢进行拉伸试验，得到图5中实线所示的三种应力－应变曲线。

(1) 试样 A、B、C 分别是【㉔】、【㉕】、【㉖】。

(2) 像试样 A 那样几乎不发生变形便破坏的材料称为【㉗】材料；像试样 B、C 那样超过某应力后，即使载荷只稍有增加也会发生很大变形的材料称为延性材料。

(3) 试样 B 从 a 到 b 的过程中出现的现象称为【㉘】，实际使用中把 b 处的应力称为【㉘】点。即使在 c 处卸载，仍会产生称为【㉙】的应变 $\varepsilon_p$，使形状不能恢复原状，这一性质称为【㉚】。对试样 A、C，使【㉙】达到 $0.2\%$ 时的应力称为【㉛】，并用它作为【㉘】点。

(4) 试样 B 在 d 处的应力称为【㉜】，是材料强度的指标。超过该点继续增大应变，试样会发生局部的【㉝】。

Kai

問1

断面積は $A_1=\pi d^2/4$、$A_2=\pi d^2$ である。

$$\boxed{\text{\textcircled{1}}=\text{\textcircled{2}}=\alpha L\Delta T,\quad \text{\textcircled{3}}=\frac{4RL}{\pi Ed^2},\quad \text{\textcircled{4}}=\frac{RL}{\pi Ed^2}}.$$

全長不変より $2\alpha L\Delta T=5RL/(\pi Ed^2)$ なので

$$\boxed{\text{\textcircled{5}}=R=\frac{2\pi\alpha Ed^2\Delta T}{5}}.$$

AからB向きを正にとると $\delta_B=\alpha L\Delta T-RL/(EA_1)=-3\alpha L\Delta T/5$。したがって

$$\boxed{\text{\textcircled{6}}=\text{Aの方向},\qquad \text{\textcircled{7}}=\frac35\alpha L\Delta T}.$$

問2

下面を引張とする曲げモーメントを正にとり、$\sigma=My/I$、$F=dM/dx$ とする。自由端側の荷重の合力は $w_0x^2/(2L)$、切断面までの腕は $x/3$ である。

$$\boxed{\text{\textcircled{8}}=I=\frac{bh^3}{12},\quad \text{\textcircled{9}}=F=-\frac{w_0x^2}{2L},\quad \text{\textcircled{10}}=M=-\frac{w_0x^3}{6L}}.$$

上面には引張応力が生じる。

$$\boxed{\text{\textcircled{11}}=\frac{w_0x^3}{Lbh^2},\qquad \text{\textcircled{12}}=\frac{w_0L^2}{bh^2}\quad(x=L)}.$$

下向きのたわみを $v$ とすると $EI v''=-M$。$v(L)=v'(L)=0$ を用いて

$$\boxed{\text{\textcircled{13}}=v(x)=\frac{w_0}{120EIL}(x^5-5L^4x+4L^5)}.$$

$v'(x)=w_0(x^4-L^4)/(24EIL)\le0$ より、最大は自由端である。

$$\boxed{\text{\textcircled{14}}=v(0)=\frac{w_0L^4}{30EI}=\frac{2w_0L^4}{5Ebh^3}}.$$

上向き集中荷重 $P$ によるAの上向き変位は $PL^3/(3EI)$。重ね合わせから

$$\boxed{\text{\textcircled{15}}=P=\frac{w_0L}{10}}.$$

問3

変換式を二乗して加えると

$$\left(\sigma-\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\right)^2+\tau^2 =\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2.$$

したがって

$$\boxed{\begin{gathered} \text{\textcircled{16}}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2},\\ \text{\textcircled{17}}=\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2,\\ \text{\textcircled{18}}=\text{モールの応力円},\\ \text{\textcircled{19}}=\text{主応力} \end{gathered}}.$$

図4(a)は $\sigma_x=\sigma_y=0,\tau_{xy}=\tau_0$ なので

$$\boxed{\text{\textcircled{20}}=\text{純粋せん断},\qquad \text{\textcircled{21}}=\tau_0}.$$

$x$ 面は $(\sigma,\tau)=(0,\tau_0)$、傾いた面は $(\tau_0\sin2\alpha,\tau_0\cos2\alpha)$ である。$\tau$ 軸が下向きであることに注意すると

$$\boxed{\text{\textcircled{22}}=(\text{ク}),\qquad \text{\textcircled{23}}=(\text{キ})}.$$

問4

空欄	解答
㉔、㉕、㉖	鋳鉄、低炭素鋼、アルミニウム合金
㉗	ぜい性（脆性）
㉘	降伏
㉙	永久ひずみ（塑性ひずみ）
㉚	塑性
㉛	耐力（0.2%耐力）
㉜	引張強さ
㉝	くびれ（ネッキング）

Aは破断までの塑性変形が小さく、Bは明瞭な降伏点をもち、Cは明瞭な降伏点をもたない。除荷時に回復するのは弾性ひずみであり、残るひずみが $\varepsilon_p$ である。

Reference

• 大学公式問題（2019年8月実施、PDF 2–3ページ）