東京工業大学 工学院 機械系 2018年8月実施 選択専門科目 問題5（工業数学）

标签：

• 东京科学大学
• 梯度、散度与旋度
• 留数定理
• 二阶线性常微分方程
• 待定系数法

Author

Miyake, 祭音Myyura

Description

問1

以下の文章において空欄に入る適切な数式または数値を答えよ。

周期が $2\pi$ の周期関数 $f(t)$ は、次のようにフーリエ級数で表すことができる。

$$f(t)=\frac12a_0+\sum_{n=1}^{\infty}[a_n\cos(nt)+b_n\sin(nt)]$$

上式中のフーリエ係数は次式で与えられる。

$$\begin{aligned} a_0&=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}\boxed{\text{①}}\,dt,\\ a_n&=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}\boxed{\text{②}}\,dt,\\ b_n&=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}\boxed{\text{③}}\,dt \qquad(n=1,2,\ldots) \end{aligned}$$

例として $f(t)$ が次式

$$f(t)=|t|\qquad(-\pi<t\le\pi)$$

で与えられるとき、フーリエ係数は次式となる。

$$\begin{aligned} a_0&=\boxed{\text{④}},&a_{2m-1}&=\boxed{\text{⑤}},&a_{2m}&=\boxed{\text{⑥}},\\ b_{2m-1}&=\boxed{\text{⑦}},&b_{2m}&=\boxed{\text{⑧}} \qquad(m=1,2,\ldots) \end{aligned}$$

問2

3次元空間において $\boldsymbol V$ を以下のベクトル場とする。

$$\boldsymbol V=(x,yz,x^2+y^2)$$

(1) $\operatorname{rot}\boldsymbol V$ を求めよ。

(2) $\phi$ をスカラー場 $\phi=(ax^2+by^2)z$ とする。ベクトル場 $\boldsymbol A$ が以下のように表されるとき、任意の点において、$\operatorname{div}\boldsymbol A=0$ となるための $a,b$ に対する条件を求めよ。

$$\boldsymbol A=\operatorname{grad}\phi+\operatorname{rot}\boldsymbol V$$

問3

複素数 $z$ の関数 $\dfrac{e^z-1}{\sin^2z}$ の原点における留数を求めよ。

問4

以下の各問いに答えよ。

(1) $\dfrac{d^2y}{dx^2}-2\dfrac{dy}{dx}+2y=0$ の一般解を求めよ。

(2) $\dfrac{d^2y}{dx^2}-2\dfrac{dy}{dx}+2y=x^2-1$ の一般解を求めよ。

题目描述

问1

在下文各空格中填入适当的表达式或数值。

周期为 $2\pi$ 的周期函数 $f(t)$ 可以展开为以下傅里叶级数：

$$f(t)=\frac12a_0+\sum_{n=1}^{\infty}[a_n\cos(nt)+b_n\sin(nt)].$$

其中的傅里叶系数为

$$\begin{aligned} a_0&=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}\boxed{\text{①}}\,dt,\\ a_n&=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}\boxed{\text{②}}\,dt,\\ b_n&=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}\boxed{\text{③}}\,dt \qquad(n=1,2,\ldots). \end{aligned}$$

例如，若 $f(t)=|t|\ (-\pi<t\le\pi)$，则各系数为

$$\begin{aligned} a_0&=\boxed{\text{④}},&a_{2m-1}&=\boxed{\text{⑤}},&a_{2m}&=\boxed{\text{⑥}},\\ b_{2m-1}&=\boxed{\text{⑦}},&b_{2m}&=\boxed{\text{⑧}} \qquad(m=1,2,\ldots). \end{aligned}$$

问2

在三维空间中，设向量场为 $\boldsymbol V=(x,yz,x^2+y^2)$。

(1) 求 $\operatorname{rot}\boldsymbol V$。

(2) 设标量场 $\phi=(ax^2+by^2)z$，向量场

$$\boldsymbol A=\operatorname{grad}\phi+\operatorname{rot}\boldsymbol V.$$

求使任意点均满足 $\operatorname{div}\boldsymbol A=0$ 的 $a,b$ 的条件。

问3

求复变函数 $\dfrac{e^z-1}{\sin^2z}$ 在原点的留数。

问4

回答下列各问。

(1) 求 $\dfrac{d^2y}{dx^2}-2\dfrac{dy}{dx}+2y=0$ 的通解。

(2) 求 $\dfrac{d^2y}{dx^2}-2\dfrac{dy}{dx}+2y=x^2-1$ 的通解。

Kai

問1

直交性による係数公式の被積分関数は、$\boxed{①=f(t),\quad②=f(t)\cos nt,\quad③=f(t)\sin nt}$ である。

$|t|$ は偶関数なので $b_n=0$。また、

$$\begin{gathered} a_0=\frac2\pi\int_0^\pi t\,dt=\pi,\\ a_n=\frac2\pi\int_0^\pi t\cos nt\,dt =\frac{2\{(-1)^n-1\}}{\pi n^2}. \end{gathered}$$

したがって $\boxed{④=\pi,\quad⑤=-4/[\pi(2m-1)^2],\quad⑥=⑦=⑧=0}$ となる。

問2

(1)

$$\begin{aligned} \mathrm{rot} \boldsymbol{V} = (y, -2x, 0) \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} \mathrm{div} \ \mathrm{rot} \boldsymbol{V} &= 0 \\ \mathrm{grad} \phi &= (2axz, 2byz, ax^2+by^2) \\ \mathrm{div} \ \mathrm{grad} \phi &= 2(a+b)z \\ \therefore \ \ \mathrm{div} \boldsymbol{A} &= 2(a+b)z \end{aligned}$$

なので、求める条件は $a+b=0$ である。

問3

原点のまわりで

$$\begin{aligned} e^z - 1 &= z + \frac{1}{2} z^2 + \cdots \\ \sin^2 z &= z^2 - \frac{1}{3} z^4 + \cdots \end{aligned}$$

とテーラー展開されるので、与えられた関数の原点は位数1の極であり、留数は $1$ である。

問4

(1)

与えられた微分方程式に $y=e^{\lambda x}$ を代入すると、

$$\begin{aligned} \lambda^2 - 2 \lambda + 2 &= 0 \\ \therefore \ \ \lambda = 1 \pm i \end{aligned}$$

を得る。 よって、 $A, B$ を任意定数として、

$$\begin{aligned} y = e^x \left( A \sin x + B \cos x \right) \end{aligned}$$

が一般解であることがわかる。

(2)

与えられた微分方程式に $y=ax^2+bx+c$ を代入すると、

$$\begin{aligned} a = \frac{1}{2}, \ b = 1, \ c = 0 \end{aligned}$$

を得る。 つまり、

$$\begin{aligned} y = \frac{1}{2} x^2 + x \end{aligned}$$

は与えられた微分方程式の特殊解である。 さらに (1) の結果を考慮すると、 $A, B$ を任意定数として、

$$\begin{aligned} y = e^x \left( A \sin x + B \cos x \right) + \frac{1}{2} x^2 + x \end{aligned}$$

が与えられた微分方程式の一般解であることがわかる。

Reference

• 公式問題PDF、10ページ