東京工業大学 工学院 機械系 2018年8月実施 選択専門科目 問題5（工業数学）

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• 东京科学大学
• 梯度、散度与旋度
• 留数定理
• 二阶线性常微分方程
• 待定系数法

Author

Miyake, 祭音Myyura

Description

題意の要約

公式問題PDF、10ページ

1. 周期 $2\pi$ のフーリエ級数を $f(t)=a_0/2+\sum_{n\ge1}(a_n\cos nt+b_n\sin nt)$ とする。係数公式 $a_0=\pi^{-1}\int_{-\pi}^{\pi}\boxed{①}\,dt$、$a_n=\pi^{-1}\int_{-\pi}^{\pi}\boxed{②}\,dt$、$b_n=\pi^{-1}\int_{-\pi}^{\pi}\boxed{③}\,dt$ を完成させる。さらに $f(t)=|t|$（$-\pi<t\le\pi$）の場合の $a_0,a_{2m-1},a_{2m},b_{2m-1},b_{2m}$（$m\ge1$）を求める（④–⑧）。
2. $\boldsymbol V=(x,yz,x^2+y^2)$ について、(1) $\operatorname{rot}\boldsymbol V$ を計算する。(2) $\phi=(ax^2+by^2)z$、$\boldsymbol A=\operatorname{grad}\phi+\operatorname{rot}\boldsymbol V$ とするとき、全空間で $\operatorname{div}\boldsymbol A=0$ となる $a,b$ の条件を求める。
3. $(e^z-1)/\sin^2z$ の $z=0$ における留数を求める。
4. (1) $y''-2y'+2y=0$、(2) $y''-2y'+2y=x^2-1$ の一般解を求める。

题目描述

1. 周期 $2\pi$ 的 Fourier 展开写为

   $$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n\ge1}(a_n\cos nt+b_n\sin nt).$$

   补全 $a_0=\pi^{-1}\int_{-\pi}^{\pi}\boxed{①}\,dt$、$a_n=\pi^{-1}\int_{-\pi}^{\pi}\boxed{②}\,dt$、$b_n=\pi^{-1}\int_{-\pi}^{\pi}\boxed{③}\,dt$ 的被积函数。对 $f(t)=|t|$（$-\pi<t\le\pi$）求 $a_0,a_{2m-1},a_{2m},b_{2m-1},b_{2m}$（$m\ge1$，空栏④–⑧）。

2. 给定向量场 $\boldsymbol V=(x,yz,x^2+y^2)$。

   1. 求旋度 $\operatorname{rot}\boldsymbol V$。
   2. 令 $\phi=(ax^2+by^2)z$、$\boldsymbol A=\operatorname{grad}\phi+\operatorname{rot}\boldsymbol V$，求使整个空间内 $\operatorname{div}\boldsymbol A=0$ 的 $a,b$ 条件。

3. 对复函数

   $$\frac{e^z-1}{\sin^2z},$$

   求 $z=0$ 处极点的阶数及留数。

4. 求下列二阶常系数微分方程的通解：

   $$y''-2y'+2y=0;$$
   $$y''-2y'+2y=x^2-1.$$

   第二问需先求一个二次多项式特解，再与齐次通解合并。

Kai

問1

直交性による係数公式の被積分関数は、$\boxed{①=f(t),\quad②=f(t)\cos nt,\quad③=f(t)\sin nt}$ である。

$|t|$ は偶関数なので $b_n=0$。また、

$$a_0=\frac2\pi\int_0^\pi t\,dt=\pi,\qquad a_n=\frac2\pi\int_0^\pi t\cos nt\,dt =\frac{2\{(-1)^n-1\}}{\pi n^2}.$$

したがって $\boxed{④=\pi,\quad⑤=-4/[\pi(2m-1)^2],\quad⑥=⑦=⑧=0}$ となる。

問2

(1)

$$\begin{aligned} \mathrm{rot} \boldsymbol{V} = (y, -2x, 0) \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} \mathrm{div} \ \mathrm{rot} \boldsymbol{V} &= 0 \\ \mathrm{grad} \phi &= (2axz, 2byz, ax^2+by^2) \\ \mathrm{div} \ \mathrm{grad} \phi &= 2(a+b)z \\ \therefore \ \ \mathrm{div} \boldsymbol{A} &= 2(a+b)z \end{aligned}$$

なので、求める条件は $a+b=0$ である。

問3

原点のまわりで

$$\begin{aligned} e^z - 1 &= z + \frac{1}{2} z^2 + \cdots \\ \sin^2 z &= z^2 - \frac{1}{3} z^4 + \cdots \end{aligned}$$

とテーラー展開されるので、与えられた関数の原点は位数1の極であり、留数は $1$ である。

問4

(1)

与えられた微分方程式に $y=e^{\lambda x}$ を代入すると、

$$\begin{aligned} \lambda^2 - 2 \lambda + 2 &= 0 \\ \therefore \ \ \lambda = 1 \pm i \end{aligned}$$

を得る。 よって、 $A, B$ を任意定数として、

$$\begin{aligned} y = e^x \left( A \sin x + B \cos x \right) \end{aligned}$$

が一般解であることがわかる。

(2)

与えられた微分方程式に $y=ax^2+bx+c$ を代入すると、

$$\begin{aligned} a = \frac{1}{2}, \ b = 1, \ c = 0 \end{aligned}$$

を得る。 つまり、

$$\begin{aligned} y = \frac{1}{2} x^2 + x \end{aligned}$$

は与えられた微分方程式の特殊解である。 さらに (1) の結果を考慮すると、 $A, B$ を任意定数として、

$$\begin{aligned} y = e^x \left( A \sin x + B \cos x \right) + \frac{1}{2} x^2 + x \end{aligned}$$

が与えられた微分方程式の一般解であることがわかる。