東京工業大学 工学院 機械系 2018年8月実施 選択専門科目 問題4（流体力学）問2

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祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

半径 $R_2$ の円管内に半径 $R_1$ の静止円柱を、中心間距離 $e\ll R_1$ だけ偏心させて置く。$R=R_2-R_1\ge e$ とし、管中心を原点、偏心方向を $\theta=0$、管軸方向を $z$ とする。隙間 $h(\theta)$ を粘度 $\mu$ の非圧縮流体が定常に流れ、軸方向速度を $u$ とする。他の速度成分は零である。

次の空欄 ①〜⑫ を埋めよ。

$$h(\theta)=\boxed{①}-\sqrt{R_1^2-(e\sin\theta)^2}.$$

$\sqrt{R_1^2-(e\sin\theta)^2}\simeq R_1$ と近似すると、$h(\theta)=\boxed{②}$。

さらに $R_1\simeq R_2$、周方向の応力変化が小さいとして隙間を局所的な平行平板間流れとみなす。管壁から隙間内向きに $y$ をとる。$dp/dz=d\tau/dy$ に、③〔A：ニュートン、B：レイノルズ、C：フーリエ〕の粘性法則 $\tau=\mu\,du/dy$ を適用する。壁面の条件は $y=④$ で $u=⑤$、$y=⑥$ で $u=⑦$ である。これより

$$u=\frac1{2\mu}\left(-\frac{dp}{dz}\right)\boxed{⑧}.$$

速度分布は ⑨〔A：直線、B：放物線、C：3 次曲線〕で、⑩〔A：ストークス、B：クエット、C：ポアズイユ〕流れとみなせる。

$(R_2-y)d\theta\simeq R_2d\theta$ として、微小面積を通る流量は $dQ=\boxed{⑪}$。断面全体で積分すると

$$Q=\frac{\pi R_2R^3}{6\mu}\left(-\frac{dp}{dz}\right)\left[1+\frac32\left(\frac eR\right)^2\right].$$

同じ圧力勾配で、偏心が最大のときの流量は同心の場合の ⑫ 倍となる。

题目描述

半径 $R_1$ 的静止圆柱置于半径 $R_2$ 的圆管内，偏心距为 $e\ll R_1$，平均间隙 $R=R_2-R_1\ge e$。不可压缩流体在狭窄间隙内沿轴向定常流动。依据几何关系近似求间隙 $h(\theta)$，再将局部流动视为两静止平板间的压力驱动流，填写边界条件、速度分布及微元流量，并求最大偏心时与同心时的流量比。

Kai

空欄の解答

空欄	解答
①	$R_2-e\cos\theta$
②	$R-e\cos\theta$
③	A：ニュートン
④、⑤	$0,\ 0$
⑥、⑦	$h(\theta),\ 0$
⑧	$h(\theta)y-y^2$
⑨	B：放物線
⑩	C：ポアズイユ
⑪	$uR_2\,dy\,d\theta$
⑫	$5/2$

導出

円柱中心を $(e,0)$ とすると、半直線 $(r\cos\theta,r\sin\theta)$ と円柱面の交点は

$$r=e\cos\theta+\sqrt{R_1^2-e^2\sin^2\theta}.$$

よって $h=R_2-r\simeq R-e\cos\theta$。

運動方程式 $\mu u_{yy}=dp/dz$ を、$u(0)=u(h)=0$ の下で積分すると

$$\boxed{u(y,\theta)=\frac1{2\mu}\left(-\frac{dp}{dz}\right)y[h(\theta)-y]}.$$

したがって

$$Q=R_2\int_0^{2\pi}\int_0^{h(\theta)}u\,dy\,d\theta =\frac{R_2}{12\mu}\left(-\frac{dp}{dz}\right)\int_0^{2\pi}(R-e\cos\theta)^3d\theta.$$

$\int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=\int_0^{2\pi}\cos^3\theta\,d\theta=0$、$\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta=\pi$ より、

$$Q=\frac{\pi R_2R^3}{6\mu}\left(-\frac{dp}{dz}\right)\left[1+\frac32(e/R)^2\right],\qquad \boxed{\frac{Q(e=R)}{Q(e=0)}=\frac52}.$$

Reference

• 東京工業大学 公式過去問（2018 年実施、問題 4・問 2、p.9）
• SN の解答・解説