東京工業大学 工学院 機械系 2018年8月実施 選択専門科目 問題4（流体力学）問2 Author 祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)
Description 問2 以下の文章において（ ）については適切な数式あるいは数値を、【 】については最も適切な選択肢を答えよ。
図2に示すように半径 R 1 R_1 R 1 R 2 R_2 R 2 e ( ≪ R 1 ) e\ (\ll R_1) e ( ≪ R 1 ) R = R 2 − R 1 ≥ e R=R_2-R_1\ge e R = R 2 − R 1 ≥ e ( r , θ , z ) (r,\theta,z) ( r , θ , z ) z z z h ( θ ) h(\theta) h ( θ ) z z z r r r θ \theta θ p p p u u u μ \mu μ h ( θ ) h(\theta) h ( θ ) e , R 1 , R 2 , θ e,R_1,R_2,\theta e , R 1 , R 2 , θ
h ( θ ) = ( ① ) − R 1 2 − ( e sin θ ) 2 (1) h(\theta)=(\text{①})-\sqrt{R_1^2-(e\sin\theta)^2}\tag{1} h ( θ ) = ( ① ) − R 1 2 − ( e sin θ ) 2 ( 1 ) となる。ここで、e ≪ R 1 e\ll R_1 e ≪ R 1
R 1 2 − ( e sin θ ) 2 = R 1 1 − ( e sin θ / R 1 ) 2 ≃ R 1 \sqrt{R_1^2-(e\sin\theta)^2}
=R_1\sqrt{1-(e\sin\theta/R_1)^2}\simeq R_1 R 1 2 − ( e sin θ ) 2 = R 1 1 − ( e sin θ / R 1 ) 2 ≃ R 1 と近似する。式 (1) を R , e , θ R,e,\theta R , e , θ
h ( θ ) = ( ② ) (2) h(\theta)=(\text{②})\tag{2} h ( θ ) = ( ② ) ( 2 )
ここで、R 1 ≃ R 2 R_1\simeq R_2 R 1 ≃ R 2 θ \theta θ h ( θ ) h(\theta) h ( θ ) ( θ , y ) (\theta,y) ( θ , y ) θ = 0 \theta=0 θ = 0 y y y
流れの z z z y y y τ \tau τ d p / d z = d τ / d y dp/dz=d\tau/dy d p / d z = d τ / d y τ = μ ( d u / d y ) \tau=\mu(du/dy) τ = μ ( d u / d y ) y y y y = ( ④ ) y=(\text{④}) y = ( ④ ) u = ( ⑤ ) u=(\text{⑤}) u = ( ⑤ ) y = ( ⑥ ) y=(\text{⑥}) y = ( ⑥ ) u = ( ⑦ ) u=(\text{⑦}) u = ( ⑦ ) u u u u u u h ( θ ) , p , y , z , μ h(\theta),p,y,z,\mu h ( θ ) , p , y , z , μ
u = 1 2 μ ( − d p d z ) ( ⑧ ) (3) u=\frac1{2\mu}\left(-\frac{dp}{dz}\right)(\text{⑧})\tag{3} u = 2 μ 1 ( − d z d p ) ( ⑧ ) ( 3 ) となり、速度 u u u y y y h ( θ ) h(\theta) h ( θ )
次に、図3に示す微小領域の流量 d Q dQ d Q ( R 2 − y ) d θ ≃ R 2 d θ (R_2-y)d\theta\simeq R_2d\theta ( R 2 − y ) d θ ≃ R 2 d θ d Q dQ d Q R 2 , u , y , θ R_2,u,y,\theta R 2 , u , y , θ
d Q = ( ⑪ ) (4) dQ=(\text{⑪})\tag{4} d Q = ( ⑪ ) ( 4 ) となる。したがって、隙間を流れる流量 Q Q Q
Q = ∫ 0 2 π ∫ 0 h ( θ ) d Q = π R 2 R 3 6 μ ( − d p d z ) { 1 + 3 2 ( e R ) 2 } (5) \begin{aligned}
Q&=\int_0^{2\pi}\int_0^{h(\theta)}dQ\\
&=\frac{\pi R_2R^3}{6\mu}\left(-\frac{dp}{dz}\right)
\left\{1+\frac32\left(\frac eR\right)^2\right\}
\end{aligned}\tag{5} Q = ∫ 0 2 π ∫ 0 h ( θ ) d Q = 6 μ π R 2 R 3 ( − d z d p ) { 1 + 2 3 ( R e ) 2 } ( 5 ) と求まる。式 (5) より、円柱が最も偏心したときの流量は円柱と円管が同心のときの（⑫）倍になる。
题目描述
问2 在下文的圆括号（ ）内填写适当的公式或数值，在方括号【 】内选择最适当的选项。
如图2，在半径为 R 2 R_2 R 2 R 1 R_1 R 1 e ( ≪ R 1 ) e\ (\ll R_1) e ( ≪ R 1 ) R = R 2 − R 1 ≥ e R=R_2-R_1\ge e R = R 2 − R 1 ≥ e ( r , θ , z ) (r,\theta,z) ( r , θ , z ) z z z h ( θ ) h(\theta) h ( θ ) z z z r r r θ \theta θ p , u , μ p,u,\mu p , u , μ e , R 1 , R 2 , θ e,R_1,R_2,\theta e , R 1 , R 2 , θ
h ( θ ) = ( ① ) − R 1 2 − ( e sin θ ) 2 . ( 1 ) h(\theta)=(\text{①})-\sqrt{R_1^2-(e\sin\theta)^2}.\qquad(1) h ( θ ) = ( ① ) − R 1 2 − ( e sin θ ) 2 . ( 1 ) 由 e ≪ R 1 e\ll R_1 e ≪ R 1
R 1 2 − ( e sin θ ) 2 = R 1 1 − ( e sin θ / R 1 ) 2 ≃ R 1 . \sqrt{R_1^2-(e\sin\theta)^2}
=R_1\sqrt{1-(e\sin\theta/R_1)^2}\simeq R_1. R 1 2 − ( e sin θ ) 2 = R 1 1 − ( e sin θ / R 1 ) 2 ≃ R 1 . 用 R , e , θ R,e,\theta R , e , θ
h ( θ ) = ( ② ) . ( 2 ) h(\theta)=(\text{②}).\qquad(2) h ( θ ) = ( ② ) . ( 2 ) 再取 R 1 ≃ R 2 R_1\simeq R_2 R 1 ≃ R 2 θ \theta θ ( θ , y ) (\theta,y) ( θ , y ) h ( θ ) h(\theta) h ( θ ) θ = 0 \theta=0 θ = 0 y y y
流动沿 z z z y y y τ \tau τ d p / d z = d τ / d y dp/dz=d\tau/dy d p / d z = d τ / d y τ = μ ( d u / d y ) \tau=\mu(du/dy) τ = μ ( d u / d y ) y y y y = ( ④ ) y=(\text{④}) y = ( ④ ) u = ( ⑤ ) u=(\text{⑤}) u = ( ⑤ ) y = ( ⑥ ) y=(\text{⑥}) y = ( ⑥ ) u = ( ⑦ ) u=(\text{⑦}) u = ( ⑦ ) u u u h ( θ ) , p , y , z , μ h(\theta),p,y,z,\mu h ( θ ) , p , y , z , μ
u = 1 2 μ ( − d p d z ) ( ⑧ ) . ( 3 ) u=\frac1{2\mu}\left(-\frac{dp}{dz}\right)(\text{⑧}).\qquad(3) u = 2 μ 1 ( − d z d p ) ( ⑧ ) . ( 3 ) 速度 u u u y y y h ( θ ) h(\theta) h ( θ )
计算图3微小区域的流量 d Q dQ d Q ( R 2 − y ) d θ ≃ R 2 d θ (R_2-y)d\theta\simeq R_2d\theta ( R 2 − y ) d θ ≃ R 2 d θ R 2 , u , y , θ R_2,u,y,\theta R 2 , u , y , θ
d Q = ( ⑪ ) . ( 4 ) dQ=(\text{⑪}).\qquad(4) d Q = ( ⑪ ) . ( 4 ) 因此，由式 (2)～(4)，间隙中的总流量为
Q = ∫ 0 2 π ∫ 0 h ( θ ) d Q = π R 2 R 3 6 μ ( − d p d z ) { 1 + 3 2 ( e R ) 2 } . ( 5 ) \begin{aligned}
Q&=\int_0^{2\pi}\int_0^{h(\theta)}dQ\\
&=\frac{\pi R_2R^3}{6\mu}\left(-\frac{dp}{dz}\right)
\left\{1+\frac32\left(\frac eR\right)^2\right\}.
\end{aligned}\qquad(5) Q = ∫ 0 2 π ∫ 0 h ( θ ) d Q = 6 μ π R 2 R 3 ( − d z d p ) { 1 + 2 3 ( R e ) 2 } . ( 5 ) 由式 (5)，圆柱偏心程度最大时的流量为圆柱与圆管同心时的（⑫）倍。
Kai 空欄の解答
空欄 解答 ① R 2 − e cos θ R_2-e\cos\theta R 2 − e cos θ ② R − e cos θ R-e\cos\theta R − e cos θ ③ A：ニュートン ④、⑤ 0 , 0 0,\ 0 0 , 0 ⑥、⑦ h ( θ ) , 0 h(\theta),\ 0 h ( θ ) , 0 ⑧ h ( θ ) y − y 2 h(\theta)y-y^2 h ( θ ) y − y 2 ⑨ B：放物線 ⑩ C：ポアズイユ ⑪ u R 2 d y d θ uR_2\,dy\,d\theta u R 2 d y d θ ⑫ 5 / 2 5/2 5/2
円柱中心を ( e , 0 ) (e,0) ( e , 0 ) ( r cos θ , r sin θ ) (r\cos\theta,r\sin\theta) ( r cos θ , r sin θ )
r = e cos θ + R 1 2 − e 2 sin 2 θ . r=e\cos\theta+\sqrt{R_1^2-e^2\sin^2\theta}. r = e cos θ + R 1 2 − e 2 sin 2 θ . よって h = R 2 − r ≃ R − e cos θ h=R_2-r\simeq R-e\cos\theta h = R 2 − r ≃ R − e cos θ
運動方程式 μ u y y = d p / d z \mu u_{yy}=dp/dz μ u yy = d p / d z u ( 0 ) = u ( h ) = 0 u(0)=u(h)=0 u ( 0 ) = u ( h ) = 0
u ( y , θ ) = 1 2 μ ( − d p d z ) y [ h ( θ ) − y ] . \boxed{u(y,\theta)=\frac1{2\mu}\left(-\frac{dp}{dz}\right)y[h(\theta)-y]}. u ( y , θ ) = 2 μ 1 ( − d z d p ) y [ h ( θ ) − y ] . したがって
Q = R 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 h ( θ ) u d y d θ = R 2 12 μ ( − d p d z ) ∫ 0 2 π ( R − e cos θ ) 3 d θ . Q=R_2\int_0^{2\pi}\int_0^{h(\theta)}u\,dy\,d\theta
=\frac{R_2}{12\mu}\left(-\frac{dp}{dz}\right)\int_0^{2\pi}(R-e\cos\theta)^3d\theta. Q = R 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 h ( θ ) u d y d θ = 12 μ R 2 ( − d z d p ) ∫ 0 2 π ( R − e cos θ ) 3 d θ . ∫ 0 2 π cos θ d θ = ∫ 0 2 π cos 3 θ d θ = 0 \int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=\int_0^{2\pi}\cos^3\theta\,d\theta=0 ∫ 0 2 π cos θ d θ = ∫ 0 2 π cos 3 θ d θ = 0 ∫ 0 2 π cos 2 θ d θ = π \int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta=\pi ∫ 0 2 π cos 2 θ d θ = π
Q = π R 2 R 3 6 μ ( − d p d z ) [ 1 + 3 2 ( e / R ) 2 ] , Q ( e = R ) Q ( e = 0 ) = 5 2 . Q=\frac{\pi R_2R^3}{6\mu}\left(-\frac{dp}{dz}\right)\left[1+\frac32(e/R)^2\right],\qquad
\boxed{\frac{Q(e=R)}{Q(e=0)}=\frac52}. Q = 6 μ π R 2 R 3 ( − d z d p ) [ 1 + 2 3 ( e / R ) 2 ] , Q ( e = 0 ) Q ( e = R ) = 2 5 . Reference 
