東京工業大学 工学院 機械系 平成29年度 選択専門科目 問題4（流体力学）問1

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祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

下側の平板 A は $+x$ 方向に速度 $U$ で動き、上側の平板 B は固定されている。A の表面を $y=0$、板間の狭い隙間を $h(x)$ とする。粘度 $\eta$ が一定の非圧縮性ニュートン流体の二次元層流を考える。圧力は隙間方向に一様で、体積力・慣性力を粘性力に対して無視する。以下の空欄を埋めよ。

微小流体要素の力の釣合い、粘性法則、両者の組合せは

$$\frac{\partial p}{\partial x}=\boxed{①},\qquad \tau_{yx}=\boxed{②},\qquad \frac{\partial p}{\partial x}=\boxed{③}.$$

$y$ について積分し、積分定数 $c_1,c_2$ を用いて速度を $u=\boxed{④}$ と表す。$u(0)=U,u(h)=0$ を適用すると

$$u=\boxed{⑤}-\boxed{⑥}\frac{\partial p}{\partial x}.$$

右辺の第一項は ⑦ 流れ、第二項は ⑧ 流れに対応する。狭い隙間の連続の式を厚さ方向に積分して得られるレイノルズ方程式は

$$\frac{\partial}{\partial x}\left(\boxed{⑨}\frac{\partial p}{\partial x}\right) =\boxed{⑩}\frac{\partial h}{\partial x}.$$

题目描述

下平板沿 $x$ 方向以速度 $U$ 运动，上平板固定，窄间隙厚度为 $h(x)$。流体不可压缩且为牛顿流体，黏度 $\eta$ 恒定，忽略惯性力和体积力，压力沿厚度不变。填写力平衡、黏性定律、速度通解、无滑移条件下的速度分布，并将厚度方向积分后的连续方程写成雷诺润滑方程。

Kai

空欄の解答

空欄	解答
①	$\partial\tau_{yx}/\partial y$
②	$\eta\,\partial u/\partial y$
③	$\eta\,\partial^2u/\partial y^2$
④	$\dfrac{y^2}{2\eta}\dfrac{\partial p}{\partial x}+c_1y+c_2$
⑤	$U(h-y)/h$
⑥	$y(h-y)/(2\eta)$
⑦	クエット
⑧	ポアズイユ
⑨	$h^3$
⑩	$6\eta U$

導出

要素の $x$ 方向の力を釣り合わせると

$$-\frac{\partial p}{\partial x}dx\,dy +\frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y}dy\,dx=0.$$

ニュートンの粘性法則を代入し、$y$ について積分する。境界条件から

$$c_2=U,\qquad c_1=-\frac{U}{h}-\frac{h}{2\eta}\frac{\partial p}{\partial x}.$$

したがって

$$\boxed{u=U\left(1-\frac yh\right) -\frac{y(h-y)}{2\eta}\frac{\partial p}{\partial x}}.$$

単位幅流量は

$$q=\int_0^{h(x)}u\,dy =\frac{Uh}{2}-\frac{h^3}{12\eta}\frac{\partial p}{\partial x}.$$

定常・非圧縮で両壁を横切る流れがないので $dq/dx=0$。よって

$$\boxed{\frac{d}{dx}\left(h^3\frac{dp}{dx}\right)=6\eta U\frac{dh}{dx}}.$$

Reference

• 東京工業大学 公式過去問（表紙「29 大修」、問題4・問1、PDF p.14）
• SN の解答・解説