東京工業大学 工学院 機械系 2016年8月実施 選択専門科目 問題4（流体力学）問2

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• 伯努利方程

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祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

問2　図2に示す平行で厚さが無視できる板で構成されたディフューザー内の二次元流れを考える。密度 $\rho$ の非圧縮性流体が面 I（面積 $A_1$）から流速 $u_1$ で流入する。流出面（面 II）の面積は $A_2$ であり、流速 $u_2$ で流出する。また、上部に設置した面積 $A_3$ を持つ開放口（面 III）から流体の一部が流速 $u_3$ で外部へ流出する。それぞれの面は流路を構成する板と直交し、各面において流速および圧力は一様であると仮定する。面 I、面 II、面 III における圧力は、それぞれ $p_1,p_2,p_3$ である。また、ディフューザー内の流れは定常であるとし、粘性力、重力は考慮しない。以下の説明文の①～⑬に該当する数式あるいは語句を解答せよ。

(1) 面 I と面 II を通る質量流量は、それぞれ（①）と（②）で表される。面 I から流入する流体のうち面 II を通る比率（質量流量比）を $N$ とした場合、面 III における流速は、$u_1,A_1,A_3$ および $N$ を用いて $u_3=(\text{③})$ で与えられる。

(2) 任意流線に沿って総圧は一定であるため、（④）の定理が成立する。したがって面 III の流速は

$$u_3=\left((\text{⑤})+\frac{(\text{⑥})}{\rho}\right)^{1/2}\tag{vii}$$

で表される。開放口の面積 $A_3$ は、$\rho,A_1,u_1,p_1,p_3$ および $N$ を用いて

$$A_3=(\text{⑦})\frac{1-N}{(\text{⑧})}\tag{viii}$$

と表される。

(3) 図2に示すように、上部の壁面上に流速がゼロになる点 S が存在する。点 S の圧力を $p_S$ とする。開放口の圧力 $p_3$ は外部環境の圧力である。$A_1>A_3/(1-N)$ の場合、$p_1,p_2,p_3,p_S$ の大きさの順は不等式

$$(\text{⑨})<(\text{⑩})<(\text{⑪})<(\text{⑫})\tag{ix}$$

で表すことができる。点 S から壁面に沿って流れ方向に圧力は単調に（⑬）する。このような場合、壁面において剥離は発生しない。

题目描述

问2　考虑图2所示由平行且厚度可忽略的板构成的扩压器内二维流动。密度为 $\rho$ 的不可压缩流体以流速 $u_1$ 从截面 I（面积 $A_1$）流入，从面积为 $A_2$ 的出口截面 II 以流速 $u_2$ 流出。另有一部分流体从上部面积为 $A_3$ 的开口截面 III 以流速 $u_3$ 流向外部。各截面均垂直于构成流道的板，且各截面上的流速、压力分别均匀。I、II、III 三个截面上的压力分别为 $p_1,p_2,p_3$。流动为稳态，不考虑黏性力和重力。在以下文字的①～⑬中填入相应公式或词语。

(1) 通过截面 I、II 的质量流量分别为（①）和（②）。以通过截面 II 的质量流量占截面 I 流入质量流量的比例为 $N$，用 $u_1,A_1,A_3,N$ 表示截面 III 的流速，有 $u_3=(\text{③})$。

(2) 沿任意流线总压保持不变，因此（④）定理成立。截面 III 的流速为

$$u_3=\left((\text{⑤})+\frac{(\text{⑥})}{\rho}\right)^{1/2}.\qquad(vii)$$

用 $\rho,A_1,u_1,p_1,p_3,N$ 表示开口面积 $A_3$，有

$$A_3=(\text{⑦})\frac{1-N}{(\text{⑧})}.\qquad(viii)$$

(3) 如图2，上壁面有流速为零的点 S，其压力为 $p_S$。开口压力 $p_3$ 等于外界环境压力。若 $A_1>A_3/(1-N)$，则 $p_1,p_2,p_3,p_S$ 的大小关系为

$$(\text{⑨})<(\text{⑩})<(\text{⑪})<(\text{⑫}).\qquad(ix)$$

从 S 点沿壁面顺着流动方向，压力单调（⑬）。此时壁面不会发生流动分离。

Kai

空欄の解答

空欄	解答
①	$\rho A_1u_1$
②	$\rho A_2u_2$
③	$A_1u_1(1-N)/A_3$
④	ベルヌーイ
⑤	$u_1^2$
⑥	$2(p_1-p_3)$
⑦	$A_1u_1$
⑧	$\sqrt{u_1^2+2(p_1-p_3)/\rho}$
⑨〜⑫	$p_3,\ p_1,\ p_2,\ p_S$
⑬	減少

導出

質量保存と $N=A_2u_2/(A_1u_1)$ より

$$A_1u_1=A_2u_2+A_3u_3,\qquad \boxed{u_3=\frac{A_1u_1}{A_3}(1-N)}.$$

面 I と面 III の間でベルヌーイの式を用いると

$$p_1+\frac12\rho u_1^2=p_3+\frac12\rho u_3^2, \qquad \boxed{A_3=\frac{A_1u_1(1-N)}{\sqrt{u_1^2+2(p_1-p_3)/\rho}}}.$$

面積条件より $u_3>u_1$、また $A_2>A_1$ と $0<N<1$ より $u_2=NA_1u_1/A_2<u_1$。よどみ点の速度は零なので

$$p_1+\frac12\rho u_1^2 =p_2+\frac12\rho u_2^2 =p_3+\frac12\rho u_3^2=p_S.$$

したがって $\boxed{p_3<p_1<p_2<p_S}$。壁面上では S から流れが加速する向きに圧力が低下し、順圧力勾配となる。

Reference

• 東京工業大学 公式過去問（表紙「29 大修」、問題4・問2、PDF p.15）
• SN の解答・解説