東京工業大学 工学院 機械系 2016年8月実施 選択専門科目 問題4（流体力学）問1

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• 东京科学大学
• 润滑近似
• 哈根–泊肃叶流

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祭音Myyura (Based on SN's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

問1　以下の説明文の①～⑩に該当する数式あるいは語句を解答せよ。

図1のような二平板 A、B があり、平板 A は速度 $U$ で $x$ 方向に移動し、平板 B は固定されている。この二平板間の二次元流れについて考える。平板 A の表面に沿って $x$ 軸をとり、平板 A と平板 B の間隔は $h(x)$ で表される。二平板間の流れは層流で、粘度 $\eta$ が一定の非圧縮性ニュートン流体と取り扱うことができる。二平板間の間隔は十分に小さく、流体の圧力は $y$ 方向に一定と仮定してよい。また、流体に働く体積力と慣性力は粘性力に比べて十分に小さい。

図1に示した流体中の微小要素に作用する力の釣合いを考える。流体の圧力 $p$、せん断応力 $\tau_{yx}$ を用いると、$x$ 方向の力の釣合いより、

$$\frac{\partial p}{\partial x}=(\text{①})\tag{i}$$

が得られる。流体速度の $x$ 方向の成分を $u$ としたとき、せん断応力 $\tau_{yx}$ は粘度 $\eta$ と $y$ 方向の速度勾配 $\partial u/\partial y$ を用いて、

$$\tau_{yx}=(\text{②})\tag{ii}$$

となる。これを式 (i) に代入すると、

$$\frac{\partial p}{\partial x}=(\text{③})\tag{iii}$$

が得られる。式 (iii) を $y$ について積分すると、

$$u=(\text{④})\tag{iv}$$

【注：積分定数を $c_1,c_2$ として解答せよ】

となり、図1の微小要素を設定した $x$ 方向位置において、$y=0$ で $u=U$、$y=h$ で $u=0$ とすると、次式が得られる。

$$u=(\text{⑤})-(\text{⑥})\frac{\partial p}{\partial x}\tag{v}$$

この式の右辺第1項は（⑦）流れ、第2項は（⑧）流れにそれぞれ対応する。すべり軸受の軸と軸受間のような狭い隙間を流体が流れる場合、$x$ 方向の速度勾配が支配的となり、連続の式は $\partial u/\partial x=0$ と近似してよい。この連続の式を $y$ 方向に $y=0$ から $y=h$ まで積分すると、次のレイノルズ方程式が得られる。

$$\frac{\partial}{\partial x}\left\{(\text{⑨})\frac{\partial p}{\partial x}\right\} =(\text{⑩})\frac{\partial h}{\partial x}\tag{vi}$$

题目描述

问1　在以下说明文字的①～⑩中填入相应公式或词语。

如图1，有两块平板 A、B。A 以速度 $U$ 沿 $x$ 方向移动，B 固定。考虑两板之间的二维流动。沿 A 的表面取 $x$ 轴，两板间距为 $h(x)$。板间为层流，流体可视为动力黏度 $\eta$ 恒定的不可压缩牛顿流体。板间距足够小，可认为压力沿 $y$ 方向不变。流体所受体积力和惯性力相对于黏性力足够小。

考虑图1流体微元上的力平衡。用流体压力 $p$ 和剪应力 $\tau_{yx}$ 表示，沿 $x$ 方向的力平衡给出

$$\frac{\partial p}{\partial x}=(\text{①}).\qquad(i)$$

将流体速度的 $x$ 分量记为 $u$，用黏度 $\eta$ 和 $y$ 方向速度梯度 $\partial u/\partial y$ 表示剪应力，有

$$\tau_{yx}=(\text{②}).\qquad(ii)$$

代入式 (i)，得到

$$\frac{\partial p}{\partial x}=(\text{③}).\qquad(iii)$$

将式 (iii) 对 $y$ 积分，得到

$$u=(\text{④}).\qquad(iv)$$

【注意：积分常数用 $c_1,c_2$ 表示。】

在图1微元所在的 $x$ 位置，取边界条件 $y=0$ 时 $u=U$、$y=h$ 时 $u=0$，可得

$$u=(\text{⑤})-(\text{⑥})\frac{\partial p}{\partial x}.\qquad(v)$$

右端第一项对应（⑦）流动，第二项对应（⑧）流动。流体流经滑动轴承的轴与轴承之间这样的狭窄间隙时，$x$ 方向的速度梯度占主导，可将连续方程近似为 $\partial u/\partial x=0$。将这一连续方程沿 $y$ 方向从 $y=0$ 积分至 $y=h$，得到雷诺方程

$$\frac{\partial}{\partial x}\left\{(\text{⑨})\frac{\partial p}{\partial x}\right\} =(\text{⑩})\frac{\partial h}{\partial x}.\qquad(vi)$$

Kai

空欄の解答

空欄	解答
①	$\partial\tau_{yx}/\partial y$
②	$\eta\,\partial u/\partial y$
③	$\eta\,\partial^2u/\partial y^2$
④	$\dfrac{y^2}{2\eta}\dfrac{\partial p}{\partial x}+c_1y+c_2$
⑤	$U(h-y)/h$
⑥	$y(h-y)/(2\eta)$
⑦	クエット
⑧	ポアズイユ
⑨	$h^3$
⑩	$6\eta U$

導出

要素の $x$ 方向の力を釣り合わせると

$$-\frac{\partial p}{\partial x}dx\,dy +\frac{\partial\tau_{yx}}{\partial y}dy\,dx=0.$$

ニュートンの粘性法則を代入し、$y$ について積分する。境界条件から

$$c_2=U,\qquad c_1=-\frac{U}{h}-\frac{h}{2\eta}\frac{\partial p}{\partial x}.$$

したがって

$$\boxed{u=U\left(1-\frac yh\right) -\frac{y(h-y)}{2\eta}\frac{\partial p}{\partial x}}.$$

単位幅流量は

$$q=\int_0^{h(x)}u\,dy =\frac{Uh}{2}-\frac{h^3}{12\eta}\frac{\partial p}{\partial x}.$$

定常・非圧縮で両壁を横切る流れがないので $dq/dx=0$。よって

$$\boxed{\frac{d}{dx}\left(h^3\frac{dp}{dx}\right)=6\eta U\frac{dh}{dx}}.$$

Reference

• 東京工業大学 公式過去問（表紙「29 大修」、問題4・問1、PDF p.14）
• SN の解答・解説