東京工業大学 工学院 情報通信系 2019年8月実施 S1 正規分布のモーメント

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$k\ge1$ を整数，$m$ を実定数，$\sigma>0$ とし，$X$ の確率密度を

$$p_X(x)=\frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left[-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}\right]$$

とする。$\alpha>0$ に対する公式 $\int_{-\infty}^\infty e^{-\alpha x^2}dx=\sqrt{\pi/\alpha}$ を用いてよい。

1. $\int_{-\infty}^\infty p_X(x)dx$ を求めよ。
2. $E[(X-m)^{2k-1}]$ を求めよ。
3. $E[X]$ を求めよ。
4. Gaussian 積分を $\alpha$ で $k$ 回微分して $\int_{-\infty}^\infty x^{2k}e^{-\alpha x^2}dx$ の公式を示せ。
5. $E[(X-m)^{2k}]$ を求めよ。
6. $E[X^2]$ を求めよ。
7. $E[X^3]$ を求めよ。

题目描述

由高斯积分及参数微分计算正态分布的归一化、各阶中心矩，以及一至三阶原点矩。

Kai

1)

$u=x-m$ と置換し Gaussian 積分を使うと

$$\int_{-\infty}^\infty p_X(x)dx =\frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\sqrt{\frac\pi{1/(2\sigma^2)}}=\boxed1.$$

2),3)

$u^{2k-1}e^{-u^2/(2\sigma^2)}$ は奇関数なので $\boxed{E[(X-m)^{2k-1}]=0}$。特に $k=1$ より $\boxed{E[X]=m}$。

4)

Gaussian の減衰により積分内での微分が許され，

$$(-1)^k\int_{-\infty}^\infty x^{2k}e^{-\alpha x^2}dx =\frac{d^k}{d\alpha^k}(\sqrt\pi\alpha^{-1/2}) =(-1)^k\frac{(2k-1)!!}{2^k}\sqrt\pi\alpha^{-k-1/2}.$$

したがって

$$\boxed{\int_{-\infty}^\infty x^{2k}e^{-\alpha x^2}dx =\frac{(2k-1)!!\sqrt\pi}{2^k\alpha^{k+1/2}}}.$$

5)

4. に $\alpha=1/(2\sigma^2)$ を代入して

$$\boxed{E[(X-m)^{2k}]=(2k-1)!!\,\sigma^{2k}}.$$

6),7)

$Y=X-m$ とおけば $E[Y]=E[Y^3]=0$, $E[Y^2]=\sigma^2$。よって

$$\boxed{E[X^2]=m^2+\sigma^2},\qquad \boxed{E[X^3]=m^3+3m\sigma^2}.$$