東京工業大学 工学院 情報通信系 2019年8月実施 午後 S1

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Author

思齐塾, 祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

問題 S1

$k$ を 1 以上の整数とし、ガウス分布に従う実数の確率変数 $X$ を考える。すなわち、 $x$ を $X$ の実現値とすると、 $X$ の確率密度関数 $p_X(x)$ は

$$p_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp \left[ -\frac{(x - m)^2}{2\sigma^2} \right] \tag{S1.1}$$

となる。ただし、 $m$ は実数の定数で平均値を表し、 $\sigma$ は正の定数で標準偏差を表すものとする。

以下の問では次の積分を用いてもよい。

$$\int_{-\infty}^{\infty} \exp(-\alpha x^2) dx = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \tag{S1.2}$$

なお、 $\alpha$ は任意の正の実数である。

1. $\int_{-\infty}^{\infty} p_X(x) dx$ の値を求めよ。

2. $\langle \cdot \rangle$ は集合平均を表し、確率密度関数を用いた平均操作とする。次式で表される $\langle (X - m)^{2k-1} \rangle$ の値を求めよ。

$$\langle (X - m)^{2k-1} \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} (x - m)^{2k-1} p_X(x) dx \tag{S1.3}$$

3. 式 (S1.3) を用いて、 $\langle X \rangle$ の値を求めよ。

4. 式 (S1.2) の両辺を $\alpha$ について $k$ 回微分して

$$\int_{-\infty}^{\infty} x^{2k} \exp(-\alpha x^2) dx = \frac{\prod_{l=1}^{k} (2l - 1)}{2^k} \pi^{\frac{1}{2}} \alpha^{-\frac{2k+1}{2}} \tag{S1.4}$$

を証明せよ。

5. 式 (S1.4) を用いて、 $\langle (X - m)^{2k} \rangle$ の値を求めよ。

6. 5. の結果を用いて、 $\langle X^2 \rangle$ の値を求めよ。

7. $\langle X^3 \rangle$ の値を求めよ。

题目描述

设 $k\geq1$ 为整数，实随机变量 $X$ 服从 Gaussian 分布，密度为

$$p_X(x) =\frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\!\left[-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}\right], \tag{S1.1}$$

其中 $m\in\mathbb R$ 是均值参数，$\sigma>0$ 是标准差。可以使用对任意 $\alpha>0$ 成立的积分

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha x^2}\,dx =\sqrt{\frac\pi\alpha}. \tag{S1.2}$$

符号 $\langle\cdot\rangle$ 表示按该概率密度进行的总体平均。

1. 求 $\int_{-\infty}^{\infty}p_X(x)\,dx$。

2. 计算奇数阶中心矩

   $$\left\langle(X-m)^{2k-1}\right\rangle =\int_{-\infty}^{\infty} (x-m)^{2k-1}p_X(x)\,dx. \tag{S1.3}$$

3. 利用 (S1.3) 求 $\langle X\rangle$。

4. 将 (S1.2) 两边关于 $\alpha$ 求导 $k$ 次，证明

   $$\int_{-\infty}^{\infty}x^{2k}e^{-\alpha x^2}\,dx = \frac{\prod_{l=1}^k(2l-1)}{2^k} \pi^{1/2}\alpha^{-(2k+1)/2}. \tag{S1.4}$$

5. 利用 (S1.4) 求偶数阶中心矩 $\langle(X-m)^{2k}\rangle$。

6. 利用第 5 问求 $\langle X^2\rangle$。

7. 求 $\langle X^3\rangle$。

Kai

1)

$u=x-m$ と置換し Gaussian 積分を使うと

$$\int_{-\infty}^\infty p_X(x)dx =\frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\sqrt{\frac\pi{1/(2\sigma^2)}}=\boxed1.$$

2),3)

$u^{2k-1}e^{-u^2/(2\sigma^2)}$ は奇関数なので $\boxed{E[(X-m)^{2k-1}]=0}$。特に $k=1$ より $\boxed{E[X]=m}$。

4)

Gaussian の減衰により積分内での微分が許され，

$$(-1)^k\int_{-\infty}^\infty x^{2k}e^{-\alpha x^2}dx =\frac{d^k}{d\alpha^k}(\sqrt\pi\alpha^{-1/2}) =(-1)^k\frac{(2k-1)!!}{2^k}\sqrt\pi\alpha^{-k-1/2}.$$

したがって

$$\boxed{\int_{-\infty}^\infty x^{2k}e^{-\alpha x^2}dx =\frac{(2k-1)!!\sqrt\pi}{2^k\alpha^{k+1/2}}}.$$

5)

4. に $\alpha=1/(2\sigma^2)$ を代入して

$$\boxed{E[(X-m)^{2k}]=(2k-1)!!\,\sigma^{2k}}.$$

6),7)

$Y=X-m$ とおけば $E[Y]=E[Y^3]=0$, $E[Y^2]=\sigma^2$。よって

$$\boxed{E[X^2]=m^2+\sigma^2},\qquad \boxed{E[X^3]=m^3+3m\sigma^2}.$$