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東京工業大学 工学院 情報通信系 2019年8月実施 午後 S1

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

問題 S1

kk を 1 以上の整数とし、ガウス分布に従う実数の確率変数 XX を考える。すなわち、 xx を XX の実現値とすると、 XX の確率密度関数 pX(x)p_X(x) は

pX(x)=12πσ2exp⁡[−(x−m)22σ2](S1.1)p_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp \left[ -\frac{(x - m)^2}{2\sigma^2} \right] \tag{S1.1}

となる。ただし、 mm は実数の定数で平均値を表し、 σ\sigma は正の定数で標準偏差を表すものとする。

以下の問では次の積分を用いてもよい。

∫−∞∞exp⁡(−αx2)dx=πα(S1.2)\int_{-\infty}^{\infty} \exp(-\alpha x^2) dx = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \tag{S1.2}

なお、 α\alpha は任意の正の実数である。

  1. ∫−∞∞pX(x)dx\int_{-\infty}^{\infty} p_X(x) dx の値を求めよ。

  2. ⟨⋅⟩\langle \cdot \rangle は集合平均を表し、確率密度関数を用いた平均操作とする。次式で表される ⟨(X−m)2k−1⟩\langle (X - m)^{2k-1} \rangle の値を求めよ。

⟨(X−m)2k−1⟩=∫−∞∞(x−m)2k−1pX(x)dx(S1.3)\langle (X - m)^{2k-1} \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} (x - m)^{2k-1} p_X(x) dx \tag{S1.3}

  1. 式 (S1.3) を用いて、 ⟨X⟩\langle X \rangle の値を求めよ。

  2. 式 (S1.2) の両辺を α\alpha について kk 回微分して

∫−∞∞x2kexp⁡(−αx2)dx=∏l=1k(2l−1)2kπ12α−2k+12(S1.4)\int_{-\infty}^{\infty} x^{2k} \exp(-\alpha x^2) dx = \frac{\prod_{l=1}^{k} (2l - 1)}{2^k} \pi^{\frac{1}{2}} \alpha^{-\frac{2k+1}{2}} \tag{S1.4}

を証明せよ。

  1. 式 (S1.4) を用いて、 ⟨(X−m)2k⟩\langle (X - m)^{2k} \rangle の値を求めよ。

    1. の結果を用いて、 ⟨X2⟩\langle X^2 \rangle の値を求めよ。

  3. ⟨X3⟩\langle X^3 \rangle の値を求めよ。

题目描述​

设 k≥1k\geq1 为整数，实随机变量 XX 服从 Gaussian 分布，密度为

pX(x)=12πσ2exp⁡ ⁣[−(x−m)22σ2],(S1.1)p_X(x) =\frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\!\left[-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}\right], \tag{S1.1}

其中 m∈Rm\in\mathbb R 是均值参数，σ>0\sigma>0 是标准差。可以使用对任意 α>0\alpha>0 成立的积分

∫−∞∞e−αx2 dx=πα.(S1.2)\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\alpha x^2}\,dx =\sqrt{\frac\pi\alpha}. \tag{S1.2}

符号 ⟨⋅⟩\langle\cdot\rangle 表示按该概率密度进行的总体平均。

  1. 求 ∫−∞∞pX(x) dx\int_{-\infty}^{\infty}p_X(x)\,dx。

  2. 计算奇数阶中心矩

    ⟨(X−m)2k−1⟩=∫−∞∞(x−m)2k−1pX(x) dx.(S1.3)\left\langle(X-m)^{2k-1}\right\rangle =\int_{-\infty}^{\infty} (x-m)^{2k-1}p_X(x)\,dx. \tag{S1.3}

  3. 利用 (S1.3) 求 ⟨X⟩\langle X\rangle。

  4. 将 (S1.2) 两边关于 α\alpha 求导 kk 次，证明

    ∫−∞∞x2ke−αx2 dx=∏l=1k(2l−1)2kπ1/2α−(2k+1)/2.(S1.4)\int_{-\infty}^{\infty}x^{2k}e^{-\alpha x^2}\,dx = \frac{\prod_{l=1}^k(2l-1)}{2^k} \pi^{1/2}\alpha^{-(2k+1)/2}. \tag{S1.4}

  5. 利用 (S1.4) 求偶数阶中心矩 ⟨(X−m)2k⟩\langle(X-m)^{2k}\rangle。

  6. 利用第 5 问求 ⟨X2⟩\langle X^2\rangle。

  7. 求 ⟨X3⟩\langle X^3\rangle。

Kai​

1)​

u=x−mu=x-m と置換し Gaussian 積分を使うと

∫−∞∞pX(x)dx=12πσ2π1/(2σ2)=1.\int_{-\infty}^\infty p_X(x)dx =\frac1{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\sqrt{\frac\pi{1/(2\sigma^2)}}=\boxed1.

2),3)​

u2k−1e−u2/(2σ2)u^{2k-1}e^{-u^2/(2\sigma^2)} は奇関数なので E[(X−m)2k−1]=0\boxed{E[(X-m)^{2k-1}]=0}。特に k=1k=1 より E[X]=m\boxed{E[X]=m}。

4)​

Gaussian の減衰により積分内での微分が許され，

(−1)k∫−∞∞x2ke−αx2dx=dkdαk(πα−1/2)=(−1)k(2k−1)!!2kπα−k−1/2.(-1)^k\int_{-\infty}^\infty x^{2k}e^{-\alpha x^2}dx =\frac{d^k}{d\alpha^k}(\sqrt\pi\alpha^{-1/2}) =(-1)^k\frac{(2k-1)!!}{2^k}\sqrt\pi\alpha^{-k-1/2}.

したがって

∫−∞∞x2ke−αx2dx=(2k−1)!!π2kαk+1/2.\boxed{\int_{-\infty}^\infty x^{2k}e^{-\alpha x^2}dx =\frac{(2k-1)!!\sqrt\pi}{2^k\alpha^{k+1/2}}}.

5)​

  1. に α=1/(2σ2)\alpha=1/(2\sigma^2) を代入して
E[(X−m)2k]=(2k−1)!! σ2k.\boxed{E[(X-m)^{2k}]=(2k-1)!!\,\sigma^{2k}}.

6),7)​

Y=X−mY=X-m とおけば E[Y]=E[Y3]=0E[Y]=E[Y^3]=0, E[Y2]=σ2E[Y^2]=\sigma^2。よって

E[X2]=m2+σ2,E[X3]=m3+3mσ2.\boxed{E[X^2]=m^2+\sigma^2},\qquad \boxed{E[X^3]=m^3+3m\sigma^2}.
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