東京工業大学 工学院 情報通信系 2019年8月実施 午前 H2

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Author

Miyake, 思齐塾, 祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

H2. 実数を要素とする行列と列ベクトルを考える．行列 $A$ の転置を ${}^t A$ によって表す．また， $n$ 次元列ベクトル $X$ を $n$ 行 1 列の行列と同様に扱う．ただし $n$ は 2 以上の整数とする．このとき，以下の問に答えよ．

1. $S$ を $n \times n$ の実対称行列とする．任意の $n$ 次元ベクトル $X, Y$ に対して，演算 $\langle X, Y \rangle$ を

$$\langle X, Y \rangle = {}^t X S Y$$

によって定義する．

a) $\langle X, Y \rangle = \langle Y, X \rangle = 0, \langle X, X \rangle = 5, \langle Y, Y \rangle = 1$ であるとき， $\langle X - 2Y, 2X + Y \rangle$ の値を計算せよ．

b) $n = 2$ のとき，全ての非零の 2 次元ベクトル $X$ について ${}^t X S X > 0$ が成り立つ対称行列 $S = \begin{pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix}$ を一つ示せ．

c) 次の括弧 c-1 から c-3 にあてはまる式を求めよ．ただし，同じ記号の括弧は同じ式を示す． $a > 0$ とするとき，対称行列 $S$ を

$$S = \begin{pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix}$$

によって定め，全ての非零の 2 次元ベクトル $X = {}^t (x, y)$ について ${}^t X S X > 0$ が成り立つための必要十分条件を求めたい．このために，まず ${}^t X S X$ を計算すると

$${}^t X S X = a ( \text{c-1} )^2 + ( \text{c-2} ) y^2 \quad (\text{H2.1})$$

が得られる．全ての非零のベクトル $X$ についてこの式の値が正になるためには，条件 c-3 が必要になる．他方，条件 c-3 が成り立つとき，c-1 = 0 と $y = 0$ が成り立つときに限り，式 (H2.1) が零になる．この連立方程式を解くことで $(x, y) = (0, 0)$ が得られ，非零のベクトル $X$ について ${}^t X S X > 0$ であることが示される．

2. $\mathbb{R}^3$ によって 3 次元ベクトルの集合を表すとき， $\mathbb{R}^3$ の部分空間

$$\{ {}^t (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : 2x + y - z = 0 \}$$

の正規直交基底を一組求めよ．ただし， $\mathbb{R}^3$ のベクトル $X = {}^t (x_1, x_2, x_3)$ とベクトル $Y = {}^t (y_1, y_2, y_3)$ との内積を ${}^t X Y = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3$ によって定義する．

3. $n \times n$ の実行列全体の集合を $\mathcal{M}_n$ とし，写像 $F: \mathcal{M}_n \to \mathcal{M}_n$ を

$$F(A) = \frac{A + {}^t A}{2}, \quad \forall A \in \mathcal{M}_n$$

によって定義する．

a) 任意の行列 $A \in \mathcal{M}_n$ について $F(A)$ が対称行列であることを証明せよ．

b) 写像 $G: \mathcal{M}_n \to \mathcal{M}_n$ を

$$G(A) = A - F(A), \quad \forall A \in \mathcal{M}_n$$

によって定義する．このとき，任意の行列 $A \in \mathcal{M}_n$ について $G(A)$ が写像 $F$ の核，すなわち $\mathcal{M}_n$ の部分集合 $\{ A \in \mathcal{M}_n : F(A) = O \}$ に属することを示せ．ただし $O$ は $n \times n$ の零行列を示す．

题目描述

以下只考虑实数矩阵和实列向量，以 ${}^tA$ 表示矩阵 $A$ 的转置，并把 $n$ 维列向量视为 $n\times1$ 矩阵；其中 $n\geq2$ 为整数。回答下列问题。

1. 设 $S$ 是 $n\times n$ 实对称矩阵，对任意 $n$ 维向量 $X,Y$ 定义

   $$\langle X,Y\rangle={}^tXSY.$$

   a. 已知

   $$\langle X,Y\rangle=\langle Y,X\rangle=0,\qquad \langle X,X\rangle=5,\qquad \langle Y,Y\rangle=1,$$

   计算 $\langle X-2Y,\,2X+Y\rangle$。

   b. 当 $n=2$ 时，给出一个对称矩阵

   $$S=\begin{pmatrix}a&b\\b&d\end{pmatrix},$$

   使每个非零二维向量 $X$ 都满足 ${}^tXSX>0$。

   c. 在下述论证中填出 c-1、c-2、c-3；相同编号的空格须填同一表达式。设 $a>0$，并令

   $$S=\begin{pmatrix}a&b\\b&d\end{pmatrix}.$$

   为求“对所有非零二维向量 $X={}^t(x,y)$ 均有 ${}^tXSX>0$”的充要条件，先把二次型化为

   $${}^tXSX=a(\text{c-1})^2+(\text{c-2})y^2. \tag{H2.1}$$

   要使式 (H2.1) 对所有非零 $X$ 为正，条件 c-3 是必要的；反过来，若 c-3 成立，则式 (H2.1) 仅在 c-1 $=0$ 且 $y=0$ 时为零，而解这两个方程可得 $(x,y)=(0,0)$。求出三个空格中的表达式。

2. 在 $\mathbb R^3$ 中，求子空间

   $$\left\{{}^t(x,y,z)\in\mathbb R^3:\ 2x+y-z=0\right\}$$

   的一组标准正交基。这里对

   $$X={}^t(x_1,x_2,x_3),\qquad Y={}^t(y_1,y_2,y_3)$$

   采用通常内积

   $${}^tXY=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.$$

3. 记所有 $n\times n$ 实矩阵组成的集合为 $\mathcal M_n$，定义映射 $F:\mathcal M_n\to\mathcal M_n$：

   $$F(A)=\frac{A+{}^tA}{2},\qquad \forall A\in\mathcal M_n.$$

   a. 证明对任意 $A\in\mathcal M_n$，$F(A)$ 都是对称矩阵。

   b. 再定义映射 $G:\mathcal M_n\to\mathcal M_n$：

   $$G(A)=A-F(A),\qquad \forall A\in\mathcal M_n.$$

   证明对任意 $A\in\mathcal M_n$，$G(A)$ 都属于 $F$ 的核

   $$\ker F=\{A\in\mathcal M_n:F(A)=O\},$$

   其中 $O$ 为 $n\times n$ 零矩阵。

Kai

1)a)

双線形性より

$$\langle X-2Y,2X+Y\rangle =2\langle X,X\rangle+\langle X,Y\rangle-4\langle Y,X\rangle-2\langle Y,Y\rangle =\boxed8.$$

1)b)

$\boxed{S=I_2}$ とすれば $X^{\mathsf T}SX=x^2+y^2>0$（$X\ne0$）。

1)c)

$$X^{\mathsf T}SX=ax^2+2bxy+dy^2 =a\left(x+\frac ba y\right)^2+\left(d-\frac{b^2}{a}\right)y^2.$$

したがって

$$\boxed{\text{c-1}=x+\frac ba y,\quad \text{c-2}=d-\frac{b^2}{a},\quad \text{c-3}:d-\frac{b^2}{a}>0}.$$

必要性は $X=(-b/a,1)^{\mathsf T}$ を代入して得る。十分性は，両平方項が同時に0なら $x=y=0$ となることから従う。

2)

$(0,1,1)^{\mathsf T}$ と $(1,-1,1)^{\mathsf T}$ は平面に属し，内積が0である。次元は2だから

$$\boxed{\left\{\frac1{\sqrt2}(0,1,1)^{\mathsf T},\quad \frac1{\sqrt3}(1,-1,1)^{\mathsf T}\right\}}$$

が正規直交基底となる。

3)a)

$$F(A)^{\mathsf T}=\frac{A^{\mathsf T}+A}{2}=F(A).$$

3)b)

$$G(A)=\frac{A-A^{\mathsf T}}2,\qquad G(A)^{\mathsf T}=-G(A).$$

よって $F(G(A))=(G(A)+G(A)^{\mathsf T})/2=O$，すなわち $\boxed{G(A)\in\ker F}$。