東京工業大学 工学院 情報通信系 2019年8月実施 H2 内積・正定値行列・直交基底

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Author

Miyake, 祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

実数を要素とする行列と列ベクトルを考え，転置を $A^{\mathsf T}$ で表す。$n\ge2$ とする。

1. 実対称行列 $S$ により $\langle X,Y\rangle=X^{\mathsf T}SY$ を定義する。 a) $\langle X,Y\rangle=\langle Y,X\rangle=0$, $\langle X,X\rangle=5$, $\langle Y,Y\rangle=1$ のとき $\langle X-2Y,2X+Y\rangle$ を求めよ。 b) $n=2$ で，全ての非零 $X$ に対して $X^{\mathsf T}SX>0$ となる実対称行列 $S$ を一つ示せ。 c) $a>0$, $S=\begin{pmatrix}a&b\\b&d\end{pmatrix}$ とする。$X=(x,y)^{\mathsf T}$ に対し

$$X^{\mathsf T}SX=a(\mathrm{C\!-!1})^2+(\mathrm{C\!-!2})y^2$$

と平方完成し，正定値であるための必要十分条件（C-3）を求めよ。

2. $\mathbb R^3$ の部分空間 $\{(x,y,z)^{\mathsf T}:2x+y-z=0\}$ の正規直交基底を一組求めよ。
3. 実 $n\times n$ 行列全体 $\mathcal M_n$ 上の写像 $F(A)=(A+A^{\mathsf T})/2$ について，a) $F(A)$ が対称行列であること，b) $G(A)=A-F(A)$ が $\ker F$ に属することを示せ。

题目描述

计算对称双线性型，完成二阶正定矩阵的平方配方判据，求平面的标准正交基，并证明矩阵的对称与反对称分解。

Kai

1)a)

双線形性より

$$\langle X-2Y,2X+Y\rangle =2\langle X,X\rangle+\langle X,Y\rangle-4\langle Y,X\rangle-2\langle Y,Y\rangle =\boxed8.$$

1)b)

$\boxed{S=I_2}$ とすれば $X^{\mathsf T}SX=x^2+y^2>0$（$X\ne0$）。

1)c)

$$X^{\mathsf T}SX=ax^2+2bxy+dy^2 =a\left(x+\frac ba y\right)^2+\left(d-\frac{b^2}{a}\right)y^2.$$

したがって

$$\boxed{\mathrm{C\!-!1}=x+\frac ba y,\quad \mathrm{C\!-!2}=d-\frac{b^2}{a},\quad \mathrm{C\!-!3}:d-\frac{b^2}{a}>0}.$$

必要性は $X=(-b/a,1)^{\mathsf T}$ を代入して得る。十分性は，両平方項が同時に0なら $x=y=0$ となることから従う。

2)

$(0,1,1)^{\mathsf T}$ と $(1,-1,1)^{\mathsf T}$ は平面に属し，内積が0である。次元は2だから

$$\boxed{\left\{\frac1{\sqrt2}(0,1,1)^{\mathsf T},\quad \frac1{\sqrt3}(1,-1,1)^{\mathsf T}\right\}}$$

が正規直交基底となる。

3)a)

$$F(A)^{\mathsf T}=\frac{A^{\mathsf T}+A}{2}=F(A).$$

3)b)

$$G(A)=\frac{A-A^{\mathsf T}}2,\qquad G(A)^{\mathsf T}=-G(A).$$

よって $F(G(A))=(G(A)+G(A)^{\mathsf T})/2=O$，すなわち $\boxed{G(A)\in\ker F}$。