東京工業大学 工学院 情報通信系 2019年8月実施 H1 変数変換・二重積分・最大値

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

$$f(x,y)=-(x+y)^3-(x-y)^2+3(x+y)+4,$$

$$D=\{(x,y):-2\le x+y\le2,\ -1\le x-y\le1\},\qquad V=\iint_Df(x,y)\,dx\,dy.$$

1. $u=x+y,v=x-y$ と変数変換し，$x,y$ を $u,v$ で表せ。$D$ と対応する $uv$ 平面上の領域 $D'$ を図示せよ。
2. 変換後の関数を $g(u,v)$ とし，$V$ を $g$ で表して計算せよ。
3. $g_u,g_v,g_{uu},g_{uv},g_{vu},g_{vv}$ を求めよ。
4. 極値の必要条件を述べ，それを満たす点を列挙せよ。
5. 各点が極大・極小・極値でないもののどれかを判定せよ。
6. $D$ 上の $f$ の最大値と，それを与える全ての $(x,y)$ を求めよ。

题目描述

在线性变换后计算平行四边形区域上的二重积分，判别驻点，并求闭区域内包括边界在内的全部最大值点。

Kai

1)

$$\boxed{x=\frac{u+v}{2},\qquad y=\frac{u-v}{2}},\qquad D'=[-2,2]\times[-1,1].$$

$D$ は頂点 $(-3/2,-1/2),(-1/2,-3/2),(3/2,1/2),(1/2,3/2)$ を持つ平行四辺形である。

2)

$g(u,v)=-u^3-v^2+3u+4$，Jacobian の絶対値は $1/2$ なので

$$\begin{aligned} V&=\frac12\int_{-2}^2\int_{-1}^1(-u^3-v^2+3u+4)\,dv\,du\\ &=\frac12\left(32-\frac83\right)=\boxed{\frac{44}{3}}. \end{aligned}$$

3)

$$\boxed{g_u=3-3u^2,\quad g_v=-2v,\quad g_{uu}=-6u,\quad g_{uv}=g_{vu}=0,\quad g_{vv}=-2}.$$

4),5)

極値の必要条件 $g_u=g_v=0$ を解くと $(u,v)=(1,0),(-1,0)$。

$(1,0)$ では Hessian が $\operatorname{diag}(-6,-2)$ で負定値，よって極大値 $6$。$(-1,0)$ では $\operatorname{diag}(6,-2)$ で不定値，よって鞍点であり極値ではない。

6)

$D'$ 上では

$$6-g(u,v)=u^3-3u+2+v^2=(u-1)^2(u+2)+v^2\ge0.$$

等号は $v=0$ かつ $u=-2$ または $1$ のときに限る。したがって

$$\boxed{\max_Df=6,\qquad(x,y)=(-1,-1),\ (1/2,1/2)}.$$