東京工業大学 工学院 情報通信系 2019年8月実施 午前 H1

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思齐塾, 祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

H1. 実数 $x, y$ に対する関数 $f(x, y)$ ， $xy$ 平面における領域 $D$ を式 (H1.1)，式 (H1.2) にそれぞれ示す。また，式 (H1.3) に示すように $f(x, y)$ を領域 $D$ の範囲で積分した値を $V$ とする。以下の問に答えよ。計算過程も示すこと。

$$f(x, y) = -(x + y)^3 - (x - y)^2 + 3(x + y) + 4 \quad (\text{H1.1})$$

$$D: -2 \leqq x + y \leqq 2 \quad \text{かつ} \quad -1 \leqq x - y \leqq 1 \quad (\text{H1.2})$$

$$V = \iint_D f(x, y) \, dx \, dy \quad (\text{H1.3})$$

1. $u = x + y, v = x - y$ と変数変換したとき， $x, y$ を $u, v$ の式でそれぞれ表せ。そして $xy$ 平面における領域 $D$ の範囲と， $uv$ 平面において $D$ に対応する領域 $D'$ の範囲をそれぞれ図示せよ。

次に，式 (H1.1) の関数 $f(x, y)$ に 1) の変数変換を施した関数を $g(u, v)$ とする。そして， $g(u, v)$ の $u, v$ による 1 次偏導関数をそれぞれ $g_u, g_v$ とし， $g(u, v)$ の $u, v$ による 2 次偏導関数をそれぞれ $g_{uu}, g_{uv}, g_{vu}, g_{vv}$ とする。

2. 式 (H1.3) を $g(u, v)$ を含む式として示し， $V$ の値を計算せよ。

3. $g_u, g_v, g_{uu}, g_{uv}, g_{vu}, g_{vv}$ をそれぞれ求めよ。

4. $g(u, v)$ が極値をとるための $g_u$ と $g_v$ に関する必要条件を示し，その必要条件を満たす $uv$ 平面上の座標 $(u, v)$ を列挙せよ。

5. 4. で求めた座標それぞれにおいて，関数 $g(u, v)$ が「極大値」「極小値」「極値とはならない」のいずれとなるか判定せよ。

6. 領域 $D$ の範囲内における，関数 $f(x, y)$ の最大値を求め，その値を与える $xy$ 平面上の座標 $(x, y)$ をすべて示せ。

题目描述

对实数 $x,y$，定义

$$f(x,y)=-(x+y)^3-(x-y)^2+3(x+y)+4, \tag{H1.1}$$

平面区域

$$D:\quad -2\leq x+y\leq2,\qquad -1\leq x-y\leq1, \tag{H1.2}$$

以及

$$V=\iint_Df(x,y)\,dx\,dy. \tag{H1.3}$$

回答下列问题，并写出计算过程。

1. 作变量变换

   $$u=x+y,\qquad v=x-y.$$

   分别用 $u,v$ 表示 $x,y$；在 $xy$ 平面画出 $D$，并在 $uv$ 平面画出其对应区域 $D'$。

   将 $f$ 变换后的函数记为 $g(u,v)$，并用 $g_u,g_v$ 以及 $g_{uu},g_{uv},g_{vu},g_{vv}$ 表示其一阶、二阶偏导数。

2. 把 (H1.3) 写成含 $g(u,v)$ 的换元积分，并计算 $V$。

3. 分别求 $g_u,g_v,g_{uu},g_{uv},g_{vu},g_{vv}$。

4. 写出 $g(u,v)$ 取得极值时关于 $g_u,g_v$ 的必要条件，并列出 $uv$ 平面上满足该条件的全部坐标。

5. 对第 4 问的每个坐标，分别判断 $g$ 在该处取得极大值、极小值，还是不构成极值。

6. 求 $f$ 在区域 $D$ 上的最大值，并列出 $xy$ 平面中使其达到最大值的所有点。

Kai

1)

$$\boxed{x=\frac{u+v}{2},\qquad y=\frac{u-v}{2}},\qquad D'=[-2,2]\times[-1,1].$$

$D$ は頂点 $(-3/2,-1/2),(-1/2,-3/2),(3/2,1/2),(1/2,3/2)$ を持つ平行四辺形である。

2)

$g(u,v)=-u^3-v^2+3u+4$，Jacobian の絶対値は $1/2$ なので

$$\begin{aligned} V&=\frac12\int_{-2}^2\int_{-1}^1(-u^3-v^2+3u+4)\,dv\,du\\ &=\frac12\left(32-\frac83\right)=\boxed{\frac{44}{3}}. \end{aligned}$$

3)

$$\boxed{g_u=3-3u^2,\quad g_v=-2v,\quad g_{uu}=-6u,\quad g_{uv}=g_{vu}=0,\quad g_{vv}=-2}.$$

4),5)

極値の必要条件 $g_u=g_v=0$ を解くと $(u,v)=(1,0),(-1,0)$。

$(1,0)$ では Hessian が $\operatorname{diag}(-6,-2)$ で負定値，よって極大値 $6$。$(-1,0)$ では $\operatorname{diag}(6,-2)$ で不定値，よって鞍点であり極値ではない。

6)

$D'$ 上では

$$6-g(u,v)=u^3-3u+2+v^2=(u-1)^2(u+2)+v^2\ge0.$$

等号は $v=0$ かつ $u=-2$ または $1$ のときに限る。したがって

$$\boxed{\max_Df=6,\qquad(x,y)=(-1,-1),\ (1/2,1/2)}.$$