東京工業大学 工学院 情報通信系 2018年8月実施 H1 調和数と積分比較

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思齐塾, 祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

H1. 以下の問に答えよ．

1. 関数 $1/x$ ( $x > 0$ ) の 1 階導関数と 2 階導関数を求め，関数 $1/x$ ( $x > 0$ ) が下に凸な単調減少関数となることを示せ．

2. 関数 $\log_e x$ ( $x > 0$ ) の 1 階導関数が $1/x$ となることを利用して，不等式

$$\frac{1}{k+1} < \log_e(k+1) - \log_e k < \frac{1}{k} \tag{H1.1}$$

が全ての正整数 $k$ に対して成立することを示せ．

3. 不等式 (H1.1) を利用して，不等式

$$\log_e(n+1) < \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} < 1 + \log_e n$$

が全ての整数 $n \ge 2$ に対して成立することを示せ．

4. $a_n := \left(\sum_{k=1}^n 1/k\right) - \log_e n$ ( $n = 1, 2, \dots$ ) によって数列 $(a_n)_{n=1}^\infty$ を定義し， $b_1 := 0, b_n := \left(\sum_{k=1}^{n-1} 1/k\right) - \log_e n$ ( $n = 2, 3, \dots$ ) によって数列 $(b_n)_{n=1}^\infty$ を定義する．このとき， $(a_n)_{n=1}^\infty$ と $(b_n)_{n=1}^\infty$ の各々が有界な単調増加数列または有界な単調減少数列となることを示せ．

5. 全ての正整数 $k$ に対して，図 H1.1 の 3 点 A $(k, \frac{1}{k})$ , B $(k+1, \frac{1}{k+1})$ , C $(k+1, \frac{1}{k})$ を頂点に持つ $\triangle \text{ABC}$ の面積は，領域 $\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid k < x < k+1, \frac{1}{x} < y < \frac{1}{k} \}$ の面積より小さくなり，不等式

$$\frac{1}{k} - \int_{k}^{k+1} \frac{1}{x} dx > \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) \tag{H1.2}$$

が成立する．不等式 (H1.2) を利用して，4) で定義された $a_n$ ( $n = 2, 3, \dots$ ) に関する不等式

$$a_n > \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)$$

を示せ．

题目描述

1. 求函数 $1/x$（$x>0$）的一阶、二阶导数，并证明它单调递减且下凸。
2. 利用 $(\log_e x)'=1/x$，证明对每个正整数 $k$，

$$\frac1{k+1} <\log_e(k+1)-\log_e k <\frac1k. \tag{H1.1}$$

3. 利用 (H1.1) 证明对每个整数 $n\geq2$，

$$\log_e(n+1) <\sum_{k=1}^n\frac1k <1+\log_e n.$$

4. 定义

$$a_n=\sum_{k=1}^n\frac1k-\log_e n \quad(n=1,2,\ldots),$$

以及

$$b_1=0,\qquad b_n=\sum_{k=1}^{n-1}\frac1k-\log_e n \quad(n=2,3,\ldots).$$

证明数列 $\{a_n\}$、$\{b_n\}$ 各自都是有界的单调数列，并分别判定其递增或递减。

5. 对每个正整数 $k$，图 H1.1 中三点

$$A\left(k,\frac1k\right),\quad B\left(k+1,\frac1{k+1}\right),\quad C\left(k+1,\frac1k\right)$$

组成的三角形面积，小于区域

$$\left\{(x,y)\in\mathbb R^2\ \middle|\ k<x<k+1,\quad \frac1x<y<\frac1k\right\}$$

的面积，因而有

$$\frac1k-\int_k^{k+1}\frac1x\,dx > \frac12\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right). \tag{H1.2}$$

利用 (H1.2) 证明对第 4 问定义的 $a_n$（$n=2,3,\ldots$），

$$a_n>\frac12\left(1+\frac1n\right).$$

Kai

1)

$$(1/x)'=-x^{-2}<0,\qquad (1/x)''=2x^{-3}>0.$$

よって $x>0$ で単調減少かつ下に凸である。

2)

$k<x<k+1$ では $1/(k+1)<1/x<1/k$。積分して

$$\frac1{k+1}<\int_k^{k+1}\frac{dx}{x}=\log(k+1)-\log k<\frac1k.$$

3)

2. の右側を $k=1,\ldots,n$，左側を $k=1,\ldots,n-1$ で加えれば

$$\boxed{\log(n+1)<\sum_{k=1}^n\frac1k<1+\log n\quad(n\ge2)}.$$

4)

$$a_{n+1}-a_n=\frac1{n+1}-\log\frac{n+1}{n}<0, \qquad b_{n+1}-b_n=\frac1n-\log\frac{n+1}{n}>0.$$

また $a_n>\log(1+1/n)>0$, $a_n\le a_1=1$，$b_n=a_n-1/n$ だから $0=b_1\le b_n<1$。よって $(a_n)$ は有界な単調減少数列，$(b_n)$ は有界な単調増加数列である。

5)

(H1.2) を $k=1,\ldots,n-1$ で加えると

$$a_n-\frac1n=\sum_{k=1}^{n-1}\frac1k-\log n >\frac12\left(1-\frac1n\right).$$

したがって

$$\boxed{a_n>\frac12\left(1+\frac1n\right)\quad(n\ge2)}.$$