東京工業大学 工学院 情報通信系 2017年8月実施 S1 Laplace変換と微分方程式

标签：

• institute-of-science-tokyo
• Laplace-Transform

Author

思齐塾, 祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

S1.

以下の問に答えよ. ただし, $t$ の関数 $f(t)$ のラプラス変換 $F(s)$ は

$$F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} dt$$

と定義され, $s$ は複素変数である. また, 以下のすべての $t$ の関数は $t < 0$ においては零であるとする. なお, ラプラス変換に関する諸性質は導出過程を示さずに用いてよい.

---

1. 次の 3 種類の関数のラプラス変換を求めよ. ただし, $a$ は正の定数である.

   a) $f_1(t) = e^{-at}$ b) $f_2(t) = \cos t$ c) $f_3(t) = e^{-at} \sin t$

2. $x(t) = \sin t$ のとき, 以下の式を満足する関数 $y(t)$ をラプラス変換を用いて求めよ. ただし, $y(0) = 0$ とする.

$$\frac{dy(t)}{dt} + 2y(t) = x(t)$$

3. 2. の関数 $y(t)$ は関数 $x(t) (= \sin t)$ と関数 $h(t)$ によって以下のように表すことができる. 関数 $h(t)$ を求めよ.

$$y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t - \tau)x(\tau)d\tau$$

4. $x(t) = \sin t$ のとき, 以下の式を満足する関数 $z(t)$ は $t$ を十分大きくすると, $z(0)$ や $\left.\frac{dz(t)}{dt}\right|_{t=0}$ に無関係にある関数に近づく. $t$ を十分大きくしたときの $z(t)$ を求めよ.

$$\frac{d^2z(t)}{dt^2} + \sqrt{2}\frac{dz(t)}{dt} + z(t) = x(t)$$

题目描述

函数 $f(t)$ 的 Laplace 变换定义为

$$F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}\,dt,$$

其中 $s$ 是复变量。以下出现的所有时间函数在 $t<0$ 时均为零；可以直接使用 Laplace 变换的各项性质，无须推导。

1. 设 $a>0$，分别求下列三个函数的 Laplace 变换：

   1. $f_1(t)=e^{-at}$；
   2. $f_2(t)=\cos t$；
   3. $f_3(t)=e^{-at}\sin t$。

2. 当 $x(t)=\sin t$ 时，用 Laplace 变换求满足

$$\frac{dy(t)}{dt}+2y(t)=x(t), \qquad y(0)=0$$

的函数 $y(t)$。 3. 第 2 问的 $y(t)$ 可写成 $x(t)$ 与某个函数 $h(t)$ 的卷积：

$$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} h(t-\tau)x(\tau)\,d\tau.$$

求 $h(t)$。 4. 仍令 $x(t)=\sin t$。满足

$$\frac{d^2z(t)}{dt^2} +\sqrt2\frac{dz(t)}{dt} +z(t)=x(t)$$

的解在 $t$ 充分大时会趋近于一个与 $z(0)$、$\left.dz(t)/dt\right|_{t=0}$ 无关的函数。求这一大时间下的 $z(t)$。

Kai

1)

$$F_1(s)=\frac1{s+a},\quad F_2(s)=\frac{s}{s^2+1},\quad F_3(s)=\frac1{(s+a)^2+1}.$$

それぞれの収束域は $\Re s>-a$, $\Re s>0$, $\Re s>-a$。

2)

$y(0)=0$ より $(s+2)Y(s)=1/(s^2+1)$。部分分数分解すると

$$Y(s)=\frac15\left(\frac1{s+2}-\frac{s}{s^2+1}+\frac2{s^2+1}\right).$$

よって

$$\boxed{y(t)=\frac15(e^{-2t}-\cos t+2\sin t)\quad(t\ge0)}.$$

3)

$Y(s)=H(s)X(s)$ より $H(s)=1/(s+2)$。したがって

$$\boxed{h(t)=e^{-2t}\quad(t\ge0)},\qquad h(t)=0\quad(t<0).$$

4)

同次解の特性根は $-1/\sqrt2\pm i/\sqrt2$ であり，同次解は減衰する。定常解を $z_p=A\sin t+B\cos t$ とおくと

$$z_p''+\sqrt2z_p'+z_p=\sqrt2(A\cos t-B\sin t)=\sin t.$$

したがって $A=0$, $B=-1/\sqrt2$ であり，

$$\boxed{z(t)\sim-\frac1{\sqrt2}\cos t\quad(t\to\infty)}.$$