東京工業大学 工学院 情報通信系 2017年8月実施 H2 直交補空間と巡回行列

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Author

思齐塾, 祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

H2.

$L$ 行 $M$ 列の行列 $A$ と $M$ 行 $N$ 列の行列 $B$ の積を $AB$ 、行列 $A$ の転置を $A^t$ と記す。 ベクトル $\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3, \dots, v_N)^t$ を $N$ 行 1 列の行列と同等に扱い、成分（要素）が実数値を取るベクトル $\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3, \dots, x_N)^t$ とベクトル $\mathbf{y} = (y_1, y_2, y_3, \dots, y_N)^t$ の内積を行列の積を用いて $\mathbf{x}^t\mathbf{y} = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3 + \dots + x_Ny_N$ で定義する。このとき以下の問に答えよ。

1. 次の 3 つのベクトル $\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}$ が線形独立（一次独立）であるか否かを示せ。線形従属（一次従属）である場合には従属の関係を式で示せ。

$$\mathbf{x} = (1, -1, 0, 1)^t, \quad \mathbf{y} = (2, 0, 1, 1)^t, \quad \mathbf{z} = (1, 1, 1, 0)^t$$

2. 1. の 3 つのベクトル $\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}$ のすべての対についてそれぞれ直交しているかどうかを示せ。

3. 線形結合（一次結合）の係数を実数として、1) の 3 つのベクトル $\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}$ の線形結合でできるベクトルの集合（ $\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}$ が張る部分空間）の直交補空間の基底を求めたい。次の 2 つのベクトルがこの基底となるように $u_3, u_4, v_3, v_4$ を定めよ。

$$\mathbf{u} = (1, 0, u_3, u_4)^t, \quad \mathbf{v} = (0, 1, v_3, v_4)^t$$

4. 次の行列 $C$ について以下の問に答えよ。

$$C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

a) $\mathbf{b} = C\mathbf{a}$ によって得られるベクトル $\mathbf{b}$ の成分とベクトル $\mathbf{a}$ の成分の間の関係を 50 字以内で説明せよ。 b) 5 行 5 列の単位行列を $I$ とするとき $C^N = I$ を満たす 1 以上で最小の整数 $N$ を a) の結果を利用して求めよ。 c) 行列 $C$ の固有値と固有ベクトルをすべて求めよ。なおいずれの固有ベクトルについても第 1 成分の値（ベクトルが $(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)^t$ の場合であれば $x_1$ の値）を 1 として残りの成分の値を求めよ。解は複素数を $re^{i\theta}$ （ここで $0 \le r, 0 \le \theta < 2\pi$ ）の形式で表して示せ。

题目描述

记 $L\times M$ 矩阵 $A$ 与 $M\times N$ 矩阵 $B$ 的乘积为 $AB$，记 $A$ 的转置为 $A^t$。把

$$\boldsymbol v=(v_1,\ldots,v_N)^t$$

视作 $N\times1$ 矩阵；对实向量 $\boldsymbol x=(x_1,\ldots,x_N)^t$、$\boldsymbol y=(y_1,\ldots,y_N)^t$，定义内积

$$\boldsymbol x^t\boldsymbol y =x_1y_1+\cdots+x_Ny_N.$$

1. 判断向量

$$\boldsymbol x=(1,-1,0,1)^t,\quad \boldsymbol y=(2,0,1,1)^t,\quad \boldsymbol z=(1,1,1,0)^t$$

是否线性无关；若线性相关，写出一个明确的相关关系。 2. 对上述三个向量的每一对，分别判断是否正交。 3. 求 $\operatorname{span}\{\boldsymbol x,\boldsymbol y,\boldsymbol z\}$ 的正交补空间的一组基。要求基向量写成

$$\boldsymbol u=(1,0,u_3,u_4)^t, \qquad \boldsymbol v=(0,1,v_3,v_4)^t,$$

并确定 $u_3,u_4,v_3,v_4$。 4. 给定

$$C= \begin{pmatrix} 0&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&1\\ 1&0&0&0&0 \end{pmatrix}.$$

1. 若 $\boldsymbol b=C\boldsymbol a$，在 50 个字以内说明 $\boldsymbol b$ 与 $\boldsymbol a$ 各分量之间的关系。
2. 设 $I$ 为 $5\times5$ 单位矩阵，利用上一小问求满足 $C^N=I$ 的最小正整数 $N$。
3. 求 $C$ 的全部特征值和特征向量。每个特征向量的第一分量均取为 $1$，再求其余分量；复数答案须写成 $re^{i\theta}$ 的形式，其中 $r\geq0$、$0\leq\theta<2\pi$。

Kai

1)

$\boxed{y=x+z}$ なので線形従属である。$x,z$ は比例しないため，張る空間の次元は $2$。

2)

$$x^{\mathsf T}y=3,\qquad x^{\mathsf T}z=0,\qquad y^{\mathsf T}z=3.$$

直交するのは $x,z$ の組のみである。

3)

$w=(w_1,w_2,w_3,w_4)^{\mathsf T}$ が直交補空間に属する条件は

$$w_1-w_2+w_4=0,\qquad w_1+w_2+w_3=0.$$

したがって

$$\boxed{u=(1,0,-1,-1)^{\mathsf T},\qquad v=(0,1,-1,1)^{\mathsf T}}.$$

両者は独立であり，直交補空間の次元が $4-2=2$ だから基底となる。

4)a)

$\boxed{b=(a_2,a_3,a_4,a_5,a_1)^{\mathsf T}}$。成分を一つ左へ循環移動する。

4)b)

$C^5=I$ であり，$C,C^2,C^3,C^4$ は $e_1$ を $e_1$ 以外へ移すので

$$\boxed{N=5}.$$

4)c)

$Cv=\lambda v$ より $v=(1,\lambda,\lambda^2,\lambda^3,\lambda^4)^{\mathsf T}$，さらに $\lambda^5=1$。したがって $k=0,1,2,3,4$ に対し

$$\boxed{\lambda_k=e^{2\pi ik/5},\qquad v_k=(1,e^{2\pi ik/5},e^{4\pi ik/5},e^{6\pi ik/5},e^{8\pi ik/5})^{\mathsf T}}.$$