東京工業大学 工学院 情報通信系 2017年8月実施 H1 Gamma関数とBeta関数

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Author

思齐塾, 祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

H1

$f(t) = e^{-t} t^{a-1} (a > 0)$ を用いて定義される関数 $g(a) = \int_{0}^{\infty} f(t) dt$ と、関数 $B(p, q) = \int_{0}^{1} t^{p-1} (1-t)^{q-1} dt (p > 0, q > 0)$ について、以下の問に答えよ。

1. $g(1)$ の値を求めよ。

2. 部分積分を用いて $g(a+1)$ を式展開し、 $g(a+1)$ の値を $g(a)$ を用いて表せ。

3. $n$ を正の整数 ( $n = 1, 2, \dots$ ) とするとき、 $g(n)$ を $n$ を用いて表せ。

4. $B(p, q)$ に $t = \cos^2 \theta$ を導入して、 $B(p, q)$ を $\theta$ に関する積分で表せ。

5. $p = \frac{1}{2}, q = \frac{1}{2}$ のとき、 $B(p, q)$ の値を求めよ。

6. $B(p, q) (p > 0, q > 0)$ の値を関数 $g(a)$ を用いて表現したい。以下の空欄 (ア) 〜 (エ) を適切な式で埋めよ。

$t = w^2$ を導入すると、 $g(a) = 2 \int_{0}^{\infty} e^{-w^2} w^{2a-1} dw$ と表現できる。 この関係式を用いると、まず、以下の式が得られる。

$$g(p)g(q) = 4 \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \text{(ア)} dx dy$$

更に、極座標変換 $x = r \cos \theta, y = r \sin \theta (0 \le r < \infty, 0 \le \theta \le \pi/2)$ を用いると、以下の関係が得られる。

$$g(p)g(q) = \left( 2 \int_{0}^{\infty} \text{(イ)} dr \right) \left( 2 \int_{0}^{\pi/2} \text{(ウ)} d\theta \right)$$

以上より、 $B(p, q)$ は関数 $g(a)$ を用いて以下のように表現できる。

$$B(p, q) = \text{(エ)}$$

题目描述

对 $a>0$，令

$$f(t)=e^{-t}t^{a-1}, \qquad g(a)=\int_0^\infty f(t)\,dt.$$

另对 $p>0,q>0$ 定义

$$B(p,q)=\int_0^1t^{p-1}(1-t)^{q-1}\,dt.$$

1. 求 $g(1)$。

2. 对 $g(a+1)$ 作分部积分，并用 $g(a)$ 表示结果。

3. 当 $n=1,2,\ldots$ 为正整数时，用 $n$ 表示 $g(n)$。

4. 在 $B(p,q)$ 中作代换 $t=\cos^2\theta$，将其写成关于 $\theta$ 的积分。

5. 求 $B\!\left(\frac12,\frac12\right)$。

6. 用 $g(a)$ 表示 $B(p,q)$。请补全下列推导中的四个空格（ア）至（エ）。

   由代换 $t=w^2$，

   $$g(a)=2\int_0^\infty e^{-w^2}w^{2a-1}\,dw.$$

   因而

   $$g(p)g(q) =4\int_0^\infty\int_0^\infty \boxed{\text{ア}}\,dx\,dy.$$

   再作极坐标变换

   $$x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta, \qquad 0\leq r<\infty,\quad0\leq\theta\leq\frac\pi2,$$

   得

   $$g(p)g(q) = \left(2\int_0^\infty\boxed{\text{イ}}\,dr\right) \left(2\int_0^{\pi/2}\boxed{\text{ウ}}\,d\theta\right).$$

   最后写出

   $$B(p,q)=\boxed{\text{エ}}.$$

Kai

1)–3)

$$g(1)=\int_0^\infty e^{-t}dt=1.$$

部分積分し，$a>0$ より境界項が消えることを用いると

$$g(a+1)=[-e^{-t}t^a]_0^\infty+a\int_0^\infty e^{-t}t^{a-1}dt=ag(a).$$

したがって $\boxed{g(n)=(n-1)!}$。

4)–5)

$t=\cos^2\theta$ とおけば

$$\boxed{B(p,q)=2\int_0^{\pi/2}\cos^{2p-1}\theta\sin^{2q-1}\theta\,d\theta}.$$

ゆえに $\boxed{B(1/2,1/2)=\pi}$。

6)

$t=w^2$ の置換から

$$g(p)g(q)=4\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-(x^2+y^2)}x^{2p-1}y^{2q-1}\,dx\,dy.$$

$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ の Jacobian は $r$ なので，空欄は

$$\begin{aligned} (\text{ア})&=e^{-(x^2+y^2)}x^{2p-1}y^{2q-1},\\ (\text{イ})&=e^{-r^2}r^{2p+2q-1},\\ (\text{ウ})&=\cos^{2p-1}\theta\sin^{2q-1}\theta,\\ (\text{エ})&=\boxed{\frac{g(p)g(q)}{g(p+q)}}. \end{aligned}$$

実際，半径方向の積分の $2$ 倍が $g(p+q)$，角度方向の積分の $2$ 倍が $B(p,q)$ となる。