東京工業大学 工学院 情報通信系 2016年8月実施 S1(2) 連続確率変数の同時分布

标签：

• 东京科学大学
• 联合分布
• 边缘密度与独立性判定
• 随机变量的独立性
• 分布函数与概率密度

Author

思齐塾, 祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

2. 2つの連続型確率変数 $X, Y$ の同時確率密度関数 $f_{XY}(x, y)$ が

$$f_{XY}(x, y) = \begin{cases} \frac{1}{2} & (|x| + |y| \leqq 1) \\ 0 & (|x| + |y| > 1) \end{cases}$$

で与えられる．

a) 領域 $|x| + |y| \leqq 1$ を $xy$ 平面上に図示せよ．

b) $X = Y = 0$ となる確率を求めよ．

c) $X \geqq 0$ かつ $Y \geqq 0$ となる確率を求めよ．

d) $X + Y \geqq 0$ となる確率を求めよ．

e) $X$ の確率密度関数を求めよ．

f) 確率変数の組 $X, Y$ が統計的に独立であるか否か，理由とともに答えよ．

题目描述

连续随机变量 $X,Y$ 的联合概率密度为

$$f_{XY}(x,y)= \begin{cases} \dfrac12,&|x|+|y|\leq1,\\ 0,&|x|+|y|>1. \end{cases}$$

1. 在 $xy$ 平面上画出区域 $|x|+|y|\leq1$。
2. 求 $P(X=0,Y=0)$。
3. 求 $P(X\geq0,\ Y\geq0)$。
4. 求 $P(X+Y\geq0)$。
5. 求 $X$ 的边缘概率密度函数。
6. 判断 $X,Y$ 是否统计独立，并说明理由。

Kai

a)

領域 $|x|+|y|\leq1$ は、頂点

$$(1,0),\quad(0,1),\quad(-1,0),\quad(0,-1)$$

を結ぶ菱形の内部と境界である。その面積は、対角線の長さがともに $2$ なので $2$ であり、密度 $1/2$ を掛けると全確率は $1$ になる。

b)

連続型確率変数が一点だけを取る確率は $0$ である。したがって

$$\boxed{P(X=0,Y=0)=0}.$$

c)

第1象限に含まれる部分は、頂点 $(0,0),(1,0),(0,1)$ を持つ面積 $1/2$ の三角形である。よって

$$P(X\geq0,Y\geq0) =\frac12\cdot\frac12 =\boxed{\frac14}.$$

d)

菱形と密度は原点について対称であり、直線 $x+y=0$ はこの領域を等面積に二分する。境界線上の確率は $0$ なので

$$\boxed{P(X+Y\geq0)=\frac12}.$$

e)

$|x|\leq1$ のとき、固定した $x$ に対して

$$-(1-|x|)\leq y\leq1-|x|$$

である。したがって

$$\begin{aligned} f_X(x) &=\int_{-(1-|x|)}^{1-|x|}\frac12\,dy =1-|x|. \end{aligned}$$

よって

$$\boxed{ f_X(x)= \begin{cases} 1-|x|,&|x|\leq1,\\ 0,&|x|>1. \end{cases}}$$

f)

対称性により $f_Y(y)=1-|y|$ （ $|y|\leq1$ ）である。たとえば $(x,y)=(1/4,1/4)$ の近傍は菱形の内部にあり、

$$f_{XY}(1/4,1/4)=\frac12,\qquad f_X(1/4)f_Y(1/4)=\frac34\cdot\frac34=\frac{9}{16}$$

で一致しない。この不一致は一点だけでなくその近傍でも生じるため、

$$\boxed{X\text{ と }Y\text{ は独立ではない}}.$$