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東京工業大学 工学院 情報通信系 2016年8月実施 S1(1) 離散確率変数の同時分布

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Author​

思齐塾, 祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

S1.

  1. +1+1 または −1-1 のみの値をとる 2 つの離散型確率変数 T,UT, U の同時確率分布が
Pr⁡[T=−1,U=−1]=0.4Pr⁡[T=−1,U=+1]=0.3Pr⁡[T=+1,U=−1]=0.2Pr⁡[T=+1,U=+1]=0.1\begin{aligned} \Pr[T = -1, U = -1] &= 0.4 \\ \Pr[T = -1, U = +1] &= 0.3 \\ \Pr[T = +1, U = -1] &= 0.2 \\ \Pr[T = +1, U = +1] &= 0.1 \end{aligned}

で与えられる．

a) UU の確率分布は Pr⁡[U=−1]=0.6,Pr⁡[U=+1]=0.4\Pr[U = -1] = 0.6, \Pr[U = +1] = 0.4 で与えられる．これを用いて， UU の期待値と分散を求めよ．

b) TT の確率分布を求めよ．

c) TT の累積分布関数を図示せよ．

d) 条件付き確率 Pr⁡[T=+1∣U=+1]\Pr[T = +1 | U = +1] の値を求めよ．

e) 確率変数の組 T,UT, U の共分散を求めよ．

f) 確率変数の組 T,UT, U が統計的に独立であるか否か，理由とともに答えよ．

题目描述​

离散随机变量 T,UT,U 都只取 +1+1 或 −1-1，其联合分布为

Pr⁡(T=−1,U=−1)=0.4,Pr⁡(T=−1,U=+1)=0.3,Pr⁡(T=+1,U=−1)=0.2,Pr⁡(T=+1,U=+1)=0.1.\begin{aligned} \Pr(T=-1,U=-1)&=0.4,\\ \Pr(T=-1,U=+1)&=0.3,\\ \Pr(T=+1,U=-1)&=0.2,\\ \Pr(T=+1,U=+1)&=0.1. \end{aligned}
  1. 已知
Pr⁡(U=−1)=0.6,Pr⁡(U=+1)=0.4,\Pr(U=-1)=0.6,\qquad \Pr(U=+1)=0.4,

求 UU 的期望和方差。 2. 求 TT 的概率分布。 3. 画出 TT 的累积分布函数。 4. 计算条件概率 Pr⁡(T=+1∣U=+1)\Pr(T=+1\mid U=+1)。 5. 计算 Cov⁡(T,U)\operatorname{Cov}(T,U)。 6. 判断 T,UT,U 是否统计独立，并说明理由。

Kai​

S1​

1) a)​

E[U]=(−1)⋅0.6+(+1)⋅0.4=−0.2.E[U]=(-1)\cdot0.6+(+1)\cdot0.4=-0.2.

また常に U2=1U^2=1 なので

Var⁡(U)=E[U2]−E[U]2=1−(−0.2)2=0.96.\operatorname{Var}(U)=E[U^2]-E[U]^2=1-(-0.2)^2=\boxed{0.96}.

したがって E[U]=−0.2\boxed{E[U]=-0.2} である。

1) b)​

同時確率を UU について足し合わせると

P(T=−1)=0.4+0.3=0.7,P(T=+1)=0.2+0.1=0.3.P(T=-1)=0.4+0.3=\boxed{0.7},\qquad P(T=+1)=0.2+0.1=\boxed{0.3}.

1) c)​

累積分布関数 FT(t)=P(T≤t)F_T(t)=P(T\le t) は

FT(t)={0,t<−1,0.7,−1≤t<1,1,t≥1.\boxed{ F_T(t)= \begin{cases} 0,&t<-1,\\ 0.7,&-1\le t<1,\\ 1,&t\ge1. \end{cases}}

したがってグラフは t=−1t=-1 で 00 から 0.70.7 へ， t=1t=1 で 0.70.7 から 11 へ跳ぶ右連続な階段関数である。

CDF of T

1) d)​

P(T=+1∣U=+1)=P(T=+1,U=+1)P(U=+1)=0.10.4=0.25.P(T=+1\mid U=+1)=\frac{P(T=+1,U=+1)}{P(U=+1)} =\frac{0.1}{0.4}=\boxed{0.25}.

1) e)​

まず

E[T]=(−1)0.7+(+1)0.3=−0.4.E[T]=(-1)0.7+(+1)0.3=-0.4.

また TU=+1TU=+1 となる確率も TU=−1TU=-1 となる確率も 0.50.5 なので E[TU]=0E[TU]=0 である。ゆえに

Cov⁡(T,U)=E[TU]−E[T]E[U]=0−(−0.4)(−0.2)=−0.08.\operatorname{Cov}(T,U)=E[TU]-E[T]E[U] =0-(-0.4)(-0.2)=\boxed{-0.08}.

1) f)​

独立ならば，例えば

P(T=−1,U=−1)=P(T=−1)P(U=−1)=0.7⋅0.6=0.42P(T=-1,U=-1)=P(T=-1)P(U=-1)=0.7\cdot0.6=0.42

でなければならない。しかし実際の同時確率は 0.40.4 である。したがって T,U は独立でない\boxed{T,U\text{ は独立でない}} 。これは共分散が −0.08≠0-0.08\neq0 であることからも従う。

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