東京工業大学 工学院 情報通信系 2016年8月実施 H2(2) Jordan標準形と行列の累乗

标签：

• institute-of-science-tokyo
• Eigenvalues-and-Eigenvectors
• Matrix-Rank
• Matrix-Power

Author

思齐塾, 祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

2. 行列 $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & -7 & 5 \end{pmatrix}$ が与えられるとき，以下の問に答えよ．

a) $B$ の固有値をすべて求め，各固有値 $\lambda$ に対して， $(B - \lambda I_3)$ の階数を求めよ．ただし， $I_3$ は 3 次の単位行列である．

b) 正則行列 $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \\ 9 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ が与えられるとき， $PJ = BP$ を満たす 3 次正方行列 $J$ を求めよ．

c) $B^n$ を求めよ．ただし， $n$ は自然数とする．

题目描述

给定

$$B= \begin{pmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 3&-7&5 \end{pmatrix}.$$

1. 求 $B$ 的全部特征值；对每个特征值 $\lambda$，计算 $\operatorname{rank}(B-\lambda I_3)$，其中 $I_3$ 是三阶单位矩阵。
2. 已知可逆矩阵

$$P= \begin{pmatrix} 1&1&1\\ 3&1&2\\ 9&1&3 \end{pmatrix},$$

求满足

$$PJ=BP$$

的三阶方阵 $J$。 3. 对自然数 $n$，求矩阵幂 $B^n$。

Kai

2)a)

$$\det(\lambda I-B)=\lambda^3-5\lambda^2+7\lambda-3 =(\lambda-1)^2(\lambda-3).$$

したがって固有値は $1$（重複度 $2$）と $3$。いずれも $B-\lambda I$ の第1・第2行は独立で，行列式は零だから

$$\boxed{\operatorname{rank}(B-I)=\operatorname{rank}(B-3I)=2}.$$

2)b)

$P=(p_1,p_2,p_3)$ と書けば $Bp_1=3p_1$, $Bp_2=p_2$, $Bp_3=p_2+p_3$ より

$$\boxed{J=P^{-1}BP=\begin{pmatrix}3&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}.$$

2)c)

$$J^n=\begin{pmatrix}3^n&0&0\\0&1&n\\0&0&1\end{pmatrix},\qquad P^{-1}=\frac14\begin{pmatrix}1&-2&1\\9&-6&1\\-6&8&-2\end{pmatrix}.$$

したがって

$$\boxed{B^n=\frac14\begin{pmatrix} 3^n-6n+3&-2\cdot3^n+8n+2&3^n-2n-1\\ 3^{n+1}-6n-3&-2\cdot3^{n+1}+8n+10&3^{n+1}-2n-3\\ 3^{n+2}-6n-9&-2\cdot3^{n+2}+8n+18&3^{n+2}-2n-5 \end{pmatrix}}.$$