東京工業大学 工学院 情報通信系 2016年8月実施 H2(1) 固有値と行列多項式

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Author

思齐塾, 祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

H2.

1. 行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -12 & 8 \end{pmatrix}$ が与えられるとき，以下の問に答えよ．

a) $A$ の固有多項式を求めよ．

b) $A$ の固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ (ただし， $\lambda_1 > \lambda_2$ ) と，これらに対応する長さ 1 の固有ベクトルを求めよ．

c) $A^5 - 6A^4 - 3A^3 + 17A^2 - A + 19I_2$ を求めよ．ただし， $I_2$ は 2 次の単位行列である．

题目描述

给定矩阵

$$A=\begin{pmatrix}0&1\\-12&8\end{pmatrix}.$$

1. 求 $A$ 的特征多项式。
2. 求 $A$ 的两个特征值 $\lambda_1,\lambda_2$，按 $\lambda_1>\lambda_2$ 排列，并分别给出对应的一个长度为 $1$ 的特征向量。
3. 计算

$$A^5-6A^4-3A^3+17A^2-A+19I_2,$$

其中 $I_2$ 为二阶单位矩阵。

Kai

1)a)

$$\det(\lambda I-A)=\lambda^2-8\lambda+12=(\lambda-6)(\lambda-2).$$

1)b)

第1行より固有ベクトルは $(1,\lambda)^{\mathsf T}$ に比例する。よって

$$\lambda_1=6,\quad v_1=\pm\frac1{\sqrt{37}}\binom16, \qquad \lambda_2=2,\quad v_2=\pm\frac1{\sqrt5}\binom12.$$

1)c)

多項式の除法より

$$x^5-6x^4-3x^3+17x^2-x+19 =(x^2-8x+12)(x^3+2x^2+x+1)-5x+7.$$

Cayley–Hamilton の定理 $A^2-8A+12I=0$ を用いると，求める値は

$$\boxed{-5A+7I=\begin{pmatrix}7&-5\\60&-33\end{pmatrix}}.$$