東京工業大学 工学院 情報通信系 2016年8月実施 H1 積分と級数の評価

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Author

思齐塾, 祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

H1.

1. $x$ を実変数としたとき，任意の実数 $\alpha$ に対して次の不定積分を求めよ．

$$\int x^\alpha dx$$

2. $m, n$ を $m \leqq n$ である任意の正の整数とし， $f(x)$ は実変数の実数値関数であるとする． a) $f(x)$ が閉区間 $[m, n+1]$ 上で連続かつ単調減少であるとき，

$$\int_m^{n+1} f(x)dx \leqq \sum_{k=m}^n f(k)$$

であることを示せ．

b) $f(x)$ が閉区間 $[m-1, n]$ 上で連続かつ単調減少であるとき，

$$\sum_{k=m}^n f(k) \leqq \int_{m-1}^n f(x)dx$$

であることを示せ．

3. 任意の正の整数 $n$ に対して次の不等式が成立することを示せ．

$$\log_e(n+1) \leqq \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$$

4. 任意の正の整数 $n$ に対して次の不等式が成立することを示せ．

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} \leqq 2$$

5. 任意の正の整数 $n$ に対して次の不等式が成立することを示せ．

$$\log_e n! \geqq 1 - n + n \log_e n$$

题目描述

1. 以 $x$ 为实变量。对任意实数 $\alpha$，求不定积分

$$\int x^\alpha\,dx.$$

2. 设 $m,n$ 是满足 $m\leq n$ 的任意正整数，$f(x)$ 为实变量实值函数。

   1. 若 $f$ 在闭区间 $[m,n+1]$ 上连续且单调递减，证明
   $$\int_m^{n+1}f(x)\,dx \leq\sum_{k=m}^nf(k).$$
   2. 若 $f$ 在闭区间 $[m-1,n]$ 上连续且单调递减，证明
   $$\sum_{k=m}^nf(k) \leq\int_{m-1}^nf(x)\,dx.$$

3. 证明对任意正整数 $n$，

$$\log_e(n+1)\leq\sum_{k=1}^n\frac1k.$$

4. 证明对任意正整数 $n$，

$$\sum_{k=1}^n\frac1{k^2}\leq2.$$

5. 证明对任意正整数 $n$，

$$\log_e n!\geq1-n+n\log_e n.$$

Kai

1)

$x>0$ 上では

$$\int x^\alpha dx= \begin{cases}x^{\alpha+1}/(\alpha+1)+C,&\alpha\ne-1,\\\log x+C,&\alpha=-1.\end{cases}$$

$\alpha=-1$ で $x<0$ も考える場合は $\log|x|+C$ となる。

2)

単調減少性より，$k\le x\le k+1$ では $f(x)\le f(k)$，$k-1\le x\le k$ では $f(k)\le f(x)$。それぞれ積分し，$k=m,\ldots,n$ について加えると

$$\int_m^{n+1}f(x)\,dx\le\sum_{k=m}^nf(k),\qquad \sum_{k=m}^nf(k)\le\int_{m-1}^nf(x)\,dx.$$

3)

2)a) を $f(x)=1/x$, $m=1$ に適用して

$$\log(n+1)=\int_1^{n+1}\frac{dx}{x}\le\sum_{k=1}^n\frac1k.$$

4)

$n=1$ は明らか。$n\ge2$ では 2)b) より

$$\sum_{k=1}^n\frac1{k^2} \le1+\int_1^n\frac{dx}{x^2}=2-\frac1n<2.$$

5)

$\log x$ は増加関数なので

$$\log n!=\sum_{k=2}^n\log k \ge\int_1^n\log x\,dx =1-n+n\log n.$$

$n=1$ では両辺とも $0$ である。