東京工業大学 工学院 電気電子系 2021年8月実施 数学2

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• 东京科学大学
• 一阶常微分方程
• 二阶线性常微分方程

Author

Miyake, 祭音Myyura

Description

微分方程式に関する以下の問に，導出過程も含めて答えよ。

(1) 式 $(2.1)，(2.2)$で与えられる微分方程式をそれぞれ解き，$y$ の一般解を求めよ。ただし，$y$ は $x$ の関数とする。

$$\begin{align} &a) \quad \frac{dy}{dx} + y = e^{-x} \tag{2.1} \\ &b) \quad \frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} - 8y = 0 \tag{2.2} \\ \end{align}$$

(2) 式 $(2.3)$ で与えられる微分方程式がある。ただし，$y$ は $x$ の関数とする。

$$\begin{align} \frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} - 8y = e^{-\alpha x} \tag{2.3} \end{align}$$

• a) $\alpha = 1$ の場合，$y$ の一般解を求めよ。
• b) $\alpha = 2$ の場合，$y$ の一般解を求めよ。

题目描述

回答下列微分方程问题，并写出推导过程。

1. 设 $y$ 为 $x$ 的函数，分别求下列方程的通解：

   $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}+y=e^{-x}; \tag{2.1}$$
   $$\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2} -2\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}-8y=0. \tag{2.2}$$

2. 考虑方程

   $$\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2} -2\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}-8y=e^{-\alpha x}. \tag{2.3}$$

   其中 $\alpha$ 为常数。

   1. 当 $\alpha=1$ 时，求 $y$ 的通解。
   2. 当 $\alpha=2$ 时，求 $y$ 的通解。

Kai

1)

a)

与えられた微分方程式 (2.1) の右辺を $0$ にした

$$\begin{aligned} \frac{dy}{dx} + y = 0 \end{aligned}$$

の一般解は、任意定数を $A$ として $y = Ae^{-x}$ である。 そこで、(2.1) に $y=A(x)e^{-x}$ を代入すると、

$$\begin{aligned} \frac{dA(x)}{dx} &= 1 \\ \therefore \ \ A(x) &= x + C \end{aligned}$$

を得る。 よって、 (2.1) の一般解は、 $C$ を任意定数として、

$$\begin{aligned} y &= (x + C)e^{-x} \end{aligned}$$

b)

$y=e^{\lambda x}$ を (2.2) に代入すると、

$$\begin{aligned} \lambda^2 - 2 \lambda - 8 &= 0 \\ (\lambda - 4)(\lambda + 2) &= 0 \\ \therefore \ \ \lambda &= -2, 4 \end{aligned}$$

なので、 (2.2) の一般解は、 $A, B$ を任意定数として、

$$\begin{aligned} y = A e^{-2x} + B e^{4x} \end{aligned}$$

2)

a)

(2.3) で $\alpha=1$ とした方程式に、$y=Ce^{-x}$ を代入すると、 $C = -1/5$ となる。 よって、一般解は、 $A, B$ を任意定数として、

$$\begin{aligned} y = A e^{-2x} + B e^{4x} - \frac{1}{5} e^{-x} \end{aligned}$$

b)

(2.3) で $\alpha=2$ とした方程式に、$y=Cxe^{-2x}$ を代入すると、 $C = -1/6$ となる。 よって、一般解は、 $A, B$ を任意定数として、

$$\begin{aligned} y = A e^{-2x} + B e^{4x} - \frac{1}{6} xe^{-2x} \end{aligned}$$