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東京工業大学 工学院 電気電子系 2021年8月実施 電気回路1

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Author​

Zero

Description​

図 1.11.1 の回路について以下の問に答えよ。RR を抵抗，LL をインダクタンス，CC をキャパシタンスとする。VinV_{in} を入力電圧，VoutV_{out} を出力電圧とする。虚数単位は jj を用いる。

問 (1) ~ 問 (4)では，角周波数 ω\omega に対して図 1.21.2 のように定義された伝達関数 H(ω)=Vout(ω)Vin(ω)H(\omega) = \frac{V_{out}(\omega)}{V_{in}(\omega)} について考える。

(1) 図 1.11.1 の回路の伝達関数 H(ω)H(\omega) を答えよ。その際，以下の形に変形して四角枠部(ア)～(ウ)を解答欄に記入せよ。

H(ω)=R(ア)+j(イ)+1jウH(\omega) = \frac{R}{\boxed{(ア)} + j\boxed{(イ)} + \frac{1}{j\boxed{ウ}}}

(2) 伝達関数 H(ω)H(\omega) の利得 ∣H(ω)∣|H(\omega)| が最大となる角周波数 ω0\omega_0 を図中の回路素子パラメータ R,L,CR,L,C のうち必要なものを用いて示せ。

(3) ω=ω0\omega = \omega_0 における利得 ∣H(ω0)∣|H(\omega_0)| を示せ。

(4) 図 1.11.1 の回路はフィルタとして利用することができる。どのようなフィルタか，名称あるいは機能を述べよ。

問 (5) ~ 問 (7)ではラプラス変換を用いて回路の応答を求める。図 1.31.3 のように複素数 ss に対して定義された伝達関数 H(s)=Vout(s)Vin(s)H(s) = \frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)} について考える。

(5) 図 1.11.1 の回路の伝達関数 H(s)H(s) を答えよ。

(6) 問 (5)の伝達関数のポール（極）の値を図中の回路素子パラメータ R,L,CR,L,C のうち必要なものを用いて示せ。

(7) 問 (6)で求めたポールが 22 つの負の実数となる場合を考える。それらを −α1-\alpha_1 と −α2-\alpha_2 とし、α1>α2\alpha_1 > \alpha_2 であるとする。回路の単位ステップ応答 vout(t)v_{out}(t) を求めよ。答は R,L,CR,L,C を用いずに α1\alpha_1 および α2\alpha_2 を用いて示せ。

题目描述​

对原 Description 图 1.1 所示电路回答下列问题。R,L,CR,L,C 分别表示电阻、感抗元件的电感量和电容器的电容量，VinV_{\mathrm{in}}、VoutV_{\mathrm{out}} 分别为输入、输出电压，虚数单位记为 jj。电路连接与输入、输出端定义以图 1.1 为准。

第 1 至第 4 问使用图 1.2 所定义的频率传递函数

H(ω)=Vout(ω)Vin(ω).H(\omega)=\frac{V_{\mathrm{out}}(\omega)} {V_{\mathrm{in}}(\omega)}.

  1. 求电路的 H(ω)H(\omega)，并整理为

    H(ω)=R(ア)+j(イ)+1j(ウ),H(\omega) =\frac{R} {\boxed{\text{(ア)}}+j\boxed{\text{(イ)}} +\dfrac1{j\boxed{\text{(ウ)}}}},

    填写三个方框。

  2. 用 R,L,CR,L,C 中必要的参数表示使增益 ∣H(ω)∣|H(\omega)| 最大的角频率 ω0\omega_0。

  3. 求 ω=ω0\omega=\omega_0 时的增益 ∣H(ω0)∣|H(\omega_0)|。

  4. 说明图 1.1 电路作为滤波器时的名称或功能。

第 5 至第 7 问使用 Laplace 变换以及图 1.3 所定义的

H(s)=Vout(s)Vin(s).H(s)=\frac{V_{\mathrm{out}}(s)} {V_{\mathrm{in}}(s)}.
  1. 求图 1.1 电路的 H(s)H(s)。
  2. 用 R,L,CR,L,C 中必要的参数表示 H(s)H(s) 的极点。
  3. 假设两个极点均为负实数，记为 −α1,−α2-\alpha_1,-\alpha_2，且 α1>α2\alpha_1>\alpha_2。求电路的单位阶跃响应 vout(t)v_{\mathrm{out}}(t)；答案只用 α1,α2\alpha_1,\alpha_2 表示，不使用 R,L,CR,L,C。

Kai​

R,L,C>0R,L,C>0 とし、ラプラス変換では初期蓄積エネルギーを 0 とする。

(1)​

直列回路の電圧分割より

H(ω)=RR+jωL+1jωC.H(\omega)=\frac{R}{R+j\omega L+\dfrac{1}{j\omega C}}.

したがって、(ア)=R(\text{ア})=R、(イ)=ωL(\text{イ})=\omega L、(ウ)=ωC(\text{ウ})=\omega C。

(2)​

∣H(ω)∣=RR2+(ωL−1ωC)2.|H(\omega)|=\frac{R}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\dfrac{1}{\omega C}\right)^2}}.

分母は ωL=1/(ωC)\omega L=1/(\omega C) のとき最小となるので、

ω0=1LC.\boxed{\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}}.

(3)​

∣H(ω0)∣=1.\boxed{|H(\omega_0)|=1}.

(4)​

バンドパスフィルタ（帯域通過フィルタ）である。共振周波数付近を通過させ、低周波・高周波成分を減衰させる。実際、ω→0,∞\omega\to0,\infty で ∣H(ω)∣→0|H(\omega)|\to0 となる。

(5)​

H(s)=RR+sL+1sC=(R/L)ss2+(R/L)s+1/(LC).\boxed{H(s)=\frac{R}{R+sL+\dfrac{1}{sC}} =\frac{(R/L)s}{s^2+(R/L)s+1/(LC)}}.

(6)​

分母の零点より、極は

s=−R2L±12(RL)2−4LC.\boxed{s=-\frac{R}{2L}\pm\frac{1}{2} \sqrt{\left(\frac{R}{L}\right)^2-\frac{4}{LC}}}.

(7)​

α1+α2=R/L\alpha_1+\alpha_2=R/L より、単位ステップ入力に対して

Vout(s)=H(s)s=α1+α2α1−α2(1s+α2−1s+α1).V_{\mathrm{out}}(s)=\frac{H(s)}{s} =\frac{\alpha_1+\alpha_2}{\alpha_1-\alpha_2} \left(\frac{1}{s+\alpha_2}-\frac{1}{s+\alpha_1}\right).

逆ラプラス変換して、

vout(t)=α1+α2α1−α2(e−α2t−e−α1t)(t≥0).\boxed{v_{\mathrm{out}}(t) =\frac{\alpha_1+\alpha_2}{\alpha_1-\alpha_2} \left(e^{-\alpha_2t}-e^{-\alpha_1t}\right)\quad(t\ge0)}.

入力前の t<0t<0 では vout(t)=0v_{\mathrm{out}}(t)=0。

Reference​

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