東京工業大学 工学院 電気電子系 2019年8月実施 数学2

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• 东京科学大学
• 不定积分
• 一阶齐次常微分方程

Author

祭音Myyura

Description

不定積分と微分方程式に関する以下の問に答えよ。ただし，問 (2) ($c$), (d) の解答は導出過程も含めて記述すること。

(1) 次の不定積分を求めよ。答のみを示せ。

• (a) $\int\frac{1}{x^2 + 4}dx$
• (b) $\int\frac{4x}{x^2 + 1}dx$

(2) 式 $(2.1)$ で表される微分方程式がある。ただし，$y$ は $x$ の関数とし，$x \neq 0$ とする。また，$\log x$ は $x$ の自然対数を表す。このとき，以下の問に答えよ。

$$\begin{align} \frac{dy}{dx} = \frac{3x + 2y - 4}{2x - 3y + 6} \tag{2.1} \end{align}$$

• (a) 定数 $a,b$ を用いて $x,y$ を $k = x - a,m = y - b$ と書き直すと，式 $(2.1)$ の左辺は式 $(2.2)$ のように定数項を含まない形で表すことができた。このとき，$a,b$ を求めよ。

$$\begin{align} \frac{dm}{dk} = \frac{3k + 2m}{2k - 3m} \tag{2.2} \end{align}$$

• (b) 式 $(2.2)$ の左辺について，$u = m/k(k > 0)$ と置いて変形すると，$dm/dk$ は $u$ と $k$ の関数となる。このとき，$dm/dk$ を $du/dk,u,k$ を用いて表せ。

• ($c$) 式 $(2.2)$ の右辺についても前問 (b) と同様に $u = m/k(k > 0)$ と置いて変形すると，式 $(2.2)$ は $du/dk = E/D$ の関係式で表すことができる。ただし，$D$ は $u$ のみの関数であり，$E = 3/k$ とする。このとき，$D$ を表せ。

• (d) 前問 ($c$) の関係式より式 $(2.2)$ の一般解を求めると，$F - 3\log k + C = 0 \ (C\text{ は任意定数})$ を得る。関数 $F$ を $u$ を用いて表せ。ただし，微分や積分を含まずに表すこと。

• (e) $x = 1$ において $y = 2$ とし，前問 (d) より式 $(2.1)$の特殊解を求めると， $4\tan^{-1}G - 3\log H = 0$ を得る。関数 $G$ と関数 $H$ を $x$ と $y$ を用いて表せ。ただし，微分や積分を含まずに表すこと。

题目描述

回答下列不定积分与微分方程问题；第 2 问的第 3、4 小问须写出推导过程。

1. 只写答案，计算：

   $$\int\frac{\mathrm dx}{x^2+4};$$
   $$\int\frac{4x}{x^2+1}\,\mathrm dx.$$

2. 设 $y$ 为 $x$ 的函数，$x\neq0$，考虑

   $$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} =\frac{3x+2y-4}{2x-3y+6}. \tag{2.1}$$

   其中 $\log$ 表示自然对数。

   1. 用常数 $a,b$ 作平移

      $$k=x-a,\qquad m=y-b,$$

      使 (2.1) 化为不含常数项的

      $$\frac{\mathrm dm}{\mathrm dk} =\frac{3k+2m}{2k-3m}. \tag{2.2}$$

      求 $a,b$。

   2. 在 (2.2) 左边令 $u=m/k$，其中 $k>0$。用 $\mathrm du/\mathrm dk,u,k$ 表示 $\mathrm dm/\mathrm dk$。

   3. 对 (2.2) 右边作同一代换，可把方程写成

      $$\frac{\mathrm du}{\mathrm dk}=\frac ED, \qquad E=\frac3k,$$

      其中 $D$ 只依赖 $u$。求 $D$。

   4. 由上一式求 (2.2) 的通解，结果写成

      $$F-3\log k+C=0,$$

      其中 $C$ 为任意常数。用 $u$ 表示不含微分、积分的函数 $F$。

   5. 再给定 $y(1)=2$，由通解求 (2.1) 的特解，并把结果写成

      $$4\tan^{-1}G-3\log H=0.$$

      用 $x,y$ 表示不含微分、积分的 $G,H$。

Kai

(1)

(a)

$x = 2\tan\theta$ とおくと、

$$\begin{aligned} \int \frac{1}{x^2 + 4}dx &= \int \frac{1}{4(1 + \tan^2\theta)} \cdot \frac{2}{\cos^2\theta}d\theta \\ &= \frac{1}{2}\tan^{-1}(\frac{x}{2}) + C \quad (C \text{ is constant}) \end{aligned}$$

(b)

$$\int\frac{4x}{x^2 + 1}dx = \int\frac{2(x^2 + 1)'}{x^2 + 1}dx = 2\log(x^2 + 1) + C \quad (C \text{ is constant})$$

(2)

(a)

$$\left \{ \begin{aligned} 3x + 2y - 4 &= 0 \\ 2x - 3y + 6 &= 0 \\ \end{aligned} \right. \Rightarrow \left \{ \begin{aligned} &x = 0 \\ &y = 2 \\ \end{aligned} \right.$$

$$\begin{aligned} x = k + 0 &\Leftrightarrow k = x + 0 \\ y = m + 2 &\Leftrightarrow m = y - 2 \\ \end{aligned}$$

従って、

$$a = 0 , b = 2$$

(b)

$$\frac{dm}{dk} = \frac{3 + 2\frac{m}{k}}{2 - 3\frac{m}{k}}$$

$$u = \frac{m}{k} \Rightarrow m = uk$$

$$\frac{dm}{dk} = u + \frac{du}{dk}k$$

($c$)

$$(u + \frac{du}{dk}k) = \frac{3 + 2u}{2 - 3u}$$

$$\begin{aligned} \frac{du}{dk}k &= \frac{3 + 2u}{2 - 3u} - u \\ \frac{du}{dk}k &= \frac{3 + 2u - u(2 - 3u)}{2 - 3u} \\ \frac{du}{dk}k &= \frac{3 + 3u^2}{2 - 3u} \\ \frac{du}{dk}k &= 3\frac{1 + u^2}{2 - 3u} \\ \frac{du}{dk} &= \frac{3}{k} \cdot \frac{1 + u^2}{2 - 3u} \\ \frac{du}{dk} &= \frac{3}{k}\bigg/\frac{2 - 3u}{1 + u^2} \\ \frac{du}{dk} &= E/D \end{aligned}$$

従って、

$$D = \frac{2 - 3u}{1 + u^2}$$

(d)

$$\frac{du}{dk} = \frac{E}{D}$$

$$Ddu = Edk$$

$$\int\frac{2 - 3u}{1 + u^2}du = \int\frac{3}{k}dk$$

$$\int\frac{2}{1 + u^2}du - \frac{3}{2}\int\frac{2u}{1 + u^2}du = 3\log|k| + A$$

$$2\tan^{-1}u - \frac{3}{2}\log(1 + u^2) = 3\log|k| + A$$

$$2\tan^{-1}u-\frac{3}{2}\log(1+u^2)-3\log k+C=0$$

$$(A,C \text{ are constants})$$

従って、

$$F = 2\tan^{-1}u - \frac{3}{2}\log(1 + u^2)$$

(e)

$$x=k=1,\qquad u=\frac{m}{k}=\frac{y-2}{1}=0$$

$$\begin{aligned} 2\tan^{-1}u - \frac{3}{2}\log(1 + u^2) - 3\log k &= 0 \\ 4\tan^{-1}u - 3\log(1 + u^2) - 6\log k &= 0 \\ 4\tan^{-1}(\frac{y - 2}{x}) - 3\log\big[1 + (\frac{y - 2}{x})^2\big] - 3\log x^2 & = 0 \\ 4\tan^{-1}(\frac{y - 2}{x}) - 3\log \big(x^2 + (y - 2)^2\big) &= 0 \end{aligned}$$

従って、

$$G = \frac{y - 2}{x},H = x^2 + (y - 2)^2$$