東京工業大学 工学院 電気電子系 2019年8月実施 数学1

标签：

• 东京科学大学
• 傅里叶变换
• 傅里叶变换的共轭对称性与调制
• 傅里叶变换的尺度变换与频移
• 傅里叶变换的微分与时域乘法性质

Author

祭音Myyura

Description

絶対積分可能な実関数 $f(t)(\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|dt < \infty)$ に対してフーリエ変換 $F(\omega)$ が

$$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t} dt$$

と定義される。ただし，$j^2 = -1$ である。以下の問に答えよ。なお，答えには $F(\omega)$, もしくは $F(\omega)$ の $\omega$ を適宜変更した関数を含めてよい。

(1) $R(\omega),X(\omega),\psi(\omega)$ を実関数として，$F(\omega) = R(\omega) + jX(\omega) = |F(\omega)|e^{-j\psi(\omega)}$ と書いたとき，$F(-\omega)$ は $F(\omega)$ の複素共役に等しい。

下記の $\boxed{1} \sim \boxed{4}$ に「偶関数」「奇関数」「いずれでもない」のどれか $1$ つを入れよ。

$$R(\omega) \text{は} \boxed{1},\quad X(\omega) \text{は} \boxed{2}, \quad |F(\omega)| \text{は} \boxed{3}, \quad \psi(\omega) \text{は} \boxed{4}$$

(2) $f(at)$ のフーリエ変換を求めよ。なお，$a$ は正の実数である。

(3) $f(t - t_0)$ のフーリエ変換を求めよ。ただし，$t_0$ は正の実数である。

(4) $f(t)$ の微分 $f'(t)$ のフーリエ変換を求めよ。導出過程も書くこと。

(5) $f(t)e^{-j\omega_0t}$ のフーリエ変換を求めよ。$\omega_0$ は正の実数である。

(6) $f(t)\cos(\omega_0t)$ のフーリエ変換を求めよ。導出過程も書くこと。

(7) $f(t)$ を実関数として，$g(t) = f(t)\cos(\omega_0 t)$ のフーリエ変換の絶対値 $|G(\omega)|$ の概形を $\omega \ge 0$ について描け。なお，$f(t)$ のフーリエ変換の絶対値 $|F(\omega)|$ は $\omega \ge 0$ について図 $1.1$のとおりであり，図中の $\omega_1,\omega_2$ はいずれも正の実数で $\omega_0$ よりも十分小さいとする。

题目描述

对绝对可积的实函数 $f(t)$，

$$\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|\,\mathrm dt<\infty,$$

定义 Fourier 变换

$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j\omega t}\,\mathrm dt, \qquad j^2=-1.$$

回答下列问题；答案可以含 $F(\omega)$，或将其中 $\omega$ 作适当替换所得的函数。

1. 写

   $$F(\omega)=R(\omega)+jX(\omega) =|F(\omega)|e^{-j\psi(\omega)},$$

   其中 $R,X,\psi$ 均为实函数。已知实信号满足

   $$F(-\omega)=F(\omega)^*.$$

   从“偶函数”“奇函数”“既非偶也非奇”中各选一项填入：

   $$R(\omega)\text{ 是 }\boxed1,\quad X(\omega)\text{ 是 }\boxed2,\quad |F(\omega)|\text{ 是 }\boxed3,\quad \psi(\omega)\text{ 是 }\boxed4.$$

2. 对正常数 $a$，求 $f(at)$ 的 Fourier 变换。

3. 对正常数 $t_0$，求 $f(t-t_0)$ 的 Fourier 变换。

4. 求导函数 $f'(t)$ 的 Fourier 变换，并写出推导。

5. 对正常数 $\omega_0$，求 $f(t)e^{-j\omega_0t}$ 的 Fourier 变换。

6. 求 $f(t)\cos(\omega_0t)$ 的 Fourier 变换，并写出推导。

7. 令

   $$g(t)=f(t)\cos(\omega_0t).$$

   原 Description 图 1.1 给出 $\omega\geq0$ 时 $|F(\omega)|$ 的形状，其中 $\omega_1,\omega_2$ 均为正常数且远小于 $\omega_0$。对 $\omega\geq0$ 画出 $|G(\omega)|$ 的概略图。

Kai

(1)

$\boxed{1}$ 偶関数, $\boxed{2}$ 奇関数, $\boxed{3}$ 偶関数, $\boxed{4}$ 奇関数

位相については $F(\omega)\ne0$ の範囲で $\psi(-\omega)\equiv-\psi(\omega)\pmod{2\pi}$ という意味である。任意の位相の枝を選んだ実関数が厳密に奇関数になるとは限らず、$F=0$ では位相は定まらない。例えば $F(0)<0$ の場合、原点の位相を $\pi$ とするので、その値まで含めた厳密な奇関数性は成立しない。

(2)

$$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} f(at)e^{-j\omega t}dt &= \int_{-\infty}^{\infty}f(u)e^{-j\omega \frac{u}{a}}\frac{du}{a} \\ &= \frac{1}{a}\int_{-\infty}^{\infty}f(u)e^{-j(\frac{\omega}{a})u}du \\ &= \frac{1}{a}F(\frac{\omega}{a}) \end{aligned}$$

(3)

$$\begin{aligned} &\int_{-\infty}^{\infty}f(t - t_0)e^{-j\omega t}dt \\ =& \int_{-\infty}^{\infty}f(u)e^{-j\omega(u + t_0)}du \\ =& e^{-j\omega t_0}\int_{-\infty}^{\infty}f(u)e^{-j\omega u}du \\ =& e^{-j\omega t_0}F(\omega) \end{aligned}$$

(4)

$f,f'$ が十分速く減衰し、部分積分の境界項が $0$ になるとすると、

$$\begin{aligned} &\int_{-\infty}^{\infty}f'(t)e^{-j\omega t}dt \\ =& \bigg[f(t)e^{-j\omega t}\bigg]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty}f(t)(-j\omega)e^{-j\omega t}dt \\ =& j\omega \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt \\ =& j\omega F(\omega) \end{aligned}$$

(5)

$$\begin{aligned} &\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega_0 t}e^{-j\omega t}dt \\ =& \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j(\omega_0 + \omega)t}dt \\ =& F(\omega_0 + \omega) \end{aligned}$$

(6)

$$\begin{aligned} f(t)\cos(\omega_0t) &= f(t) \cdot \frac{e^{j\omega_0t}+e^{-j\omega_0 t}}{2} \\ &= \frac{1}{2}f(t)e^{j\omega_0 t} + \frac{1}{2}f(t)e^{-j\omega_0 t} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} &\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{2}f(t)e^{j\omega_0 t}e^{-j\omega t}dt \\ =& \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j(\omega - \omega_0)t}dt \\ =& \frac{1}{2}F(\omega - \omega_0) \end{aligned}$$

また、(5) より、

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{2}f(t)e^{-j\omega_0 t}e^{-j\omega t}dt = \frac{1}{2}F(\omega + \omega_0)$$

従って、

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\cos(\omega_0 t)e^{-j\omega t}dt = \frac{1}{2}\big[F(\omega - \omega_0) + F(\omega + \omega_0)\big]$$

(7)

実信号なので $|F(\omega)|$ は偶関数であり、元のスペクトルは正負両側に存在する。$\omega_0\gg\omega_2$ より移動した二つのスペクトルは重ならず、$\omega\ge0$ では

$$|G(\omega)|=\frac12|F(\omega-\omega_0)|.$$

従って、$[\omega_0-\omega_2,\omega_0-\omega_1]$ と $[\omega_0+\omega_1,\omega_0+\omega_2]$ の両方に帯域が現れる。前者は後者を $\omega=\omega_0$ に関して反転した形であり、どちらも元の振幅の $1/2$ 倍である。