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東京工業大学 工学院 電気電子系 2018年8月実施 数学3

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Author​

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description​

周期 NN 点の実数の離散時間信号 f(n)f(n) を考える。式 (3.1)(3.1) 定義される離散フーリエ変換 F(k)F(k) に関する以下の問に，導出過程も含めて答えよ。ただし、nn,および kk は整数であり、NN は自然数である。また、虚数単位を jj で表す (j2=−1)(j^2 = -1)。

F(k)=∑n=0N−1f(n)e−j2πNkn\begin{align} F(k) = \sum_{n = 0}^{N - 1}f(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} \tag{3.1} \end{align}

(1) f(n)f(n) の離散フーリエ変換を考える。

  • (a) n=N−mn = N - m とし、f(−n)f(-n) の離散フーリエ変換 nn を用いずに表せ。ただし、mm は整数である。

  • (b) f(n)f(n) の周期性を考慮して、(1) の (a) で導出した式が F(−k)F(-k) となることを示せ。

(2) ある整数 mm に対して f(n−m)f(n - m) の離散フーリエ変換が F(k)e−j2πNkmF(k)e^{-j\frac{2\pi}{N}km} となることを示せ。

(3) 11 Hz 未満に帯域制限された連続時間信号 g(t)g(t) に対して、時刻 t=0t = 0 からサンプリング周波数 22Hz で 22 秒間サンプリングしたところ、[3,0,−1,2][3,0,-1,2] の離散時間信号を得た。

  • (a) 得られた離散時間信号を f(n)f(n) (ただし、n=0,1,2,3n = 0,1,2,3) とし、k=0,1,2,3k = 0,1,2,3 に対する F(k)F(k) をそれぞれ求めよ。

  • (b) (3) の (a) で導出した F(k)F(k) から、g(t)g(t) を求めよ。

题目描述​

考虑周期为 NN 点的实离散时间信号 f(n)f(n)，其离散 Fourier 变换定义为

F(k)=∑n=0N−1f(n)e−j2πNkn.(3.1)F(k)=\sum_{n=0}^{N-1} f(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}. \tag{3.1}

其中 n,kn,k 为整数，NN 为自然数，j2=−1j^2=-1。回答下列问题并写出推导过程。

  1. 考虑 f(n)f(n) 的时间反转。

    1. 令 n=N−mn=N-m，在最终表达式中不使用 nn，写出 f(−n)f(-n) 的离散 Fourier 变换；mm 为整数。
    2. 利用 f(n)f(n) 的周期性，证明第 1 小问所得结果等于 F(−k)F(-k)。

  2. 对任意整数 mm，证明移位信号 f(n−m)f(n-m) 的离散 Fourier 变换为

    F(k)e−j2πNkm.F(k)e^{-j\frac{2\pi}{N}km}.

  3. 连续时间信号 g(t)g(t) 的频带限制在 1 Hz1\ \mathrm{Hz} 以下。从 t=0t=0 开始，以 2 Hz2\ \mathrm{Hz} 的采样频率持续采样 22 秒，得到离散序列

    [3,0,−1,2].[3,0,-1,2].
    1. 令该序列为 f(n)f(n)（n=0,1,2,3n=0,1,2,3），分别求 k=0,1,2,3k=0,1,2,3 时的 F(k)F(k)。
    2. 使用上一小问得到的 F(k)F(k) 重建 g(t)g(t)。

Kai​

(1)​

(a)​

n=N−mn=N-m とおき、ff の周期性を用いると、

∑n=0N−1f(−n)e−j2πkn/N=∑m=1Nf(m)ej2πkm/N.\sum_{n=0}^{N-1}f(-n)e^{-j2\pi kn/N} =\boxed{\sum_{m=1}^{N}f(m)e^{j2\pi km/N}}.

(b)​

f(m)ej2πkm/Nf(m)e^{j2\pi km/N} も NN 周期なので、

∑m=1Nf(m)ej2πkm/N=∑m=0N−1f(m)ej2πkm/N=F(−k).\sum_{m=1}^{N}f(m)e^{j2\pi km/N} =\sum_{m=0}^{N-1}f(m)e^{j2\pi km/N} =\boxed{F(-k)}.

(2)​

ℓ=n−m\ell=n-m とおく。和の被加算項が NN 周期であることから、

∑n=0N−1f(n−m)e−j2πkn/N=e−j2πkm/N∑ℓ=−mN−1−mf(ℓ)e−j2πkℓ/N=e−j2πkm/NF(k).\begin{aligned} \sum_{n=0}^{N-1}f(n-m)e^{-j2\pi kn/N} &=e^{-j2\pi km/N}\sum_{\ell=-m}^{N-1-m}f(\ell)e^{-j2\pi k\ell/N}\\ &=\boxed{e^{-j2\pi km/N}F(k)}. \end{aligned}

(3)​

(a)​

N=4N=4 を代入すると、

(F(0),F(1),F(2),F(3))=(4, 4+2j, 0, 4−2j).\boxed{\bigl(F(0),F(1),F(2),F(3)\bigr) =(4,\ 4+2j,\ 0,\ 4-2j)}.

(b)​

標本列を 44 点周期として復元する。k=1,3k=1,3 はそれぞれ周波数 1/2,−1/2 Hz1/2,-1/2\ \mathrm{Hz} に対応するので、

g(t)=14{4+(4+2j)ejπt+(4−2j)e−jπt}=1+2cos⁡πt−sin⁡πt.\begin{aligned} g(t) &=\frac14\{4+(4+2j)e^{j\pi t}+(4-2j)e^{-j\pi t}\}\\ &=\boxed{1+2\cos\pi t-\sin\pi t}. \end{aligned}

ただし、周期延長を仮定せず、与えられた 44 個の標本と帯域制限だけを条件とすると、一般の g(t)g(t) は一意に定まらない。

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