東京工業大学 工学院 電気電子系 2018年8月実施 数学2

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Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

複素関数に関する以下の問に答えよ。なお虚数単位を $j$ で表す $(j^2 = -1)$。

(1) 複素関数 $f(z) = \frac{1}{z - p}$ を、この関数の特異点 $p$ ($p$ は複素数)を内側にもつ積分路 $C$ に沿って周回積分することを考える。$z - p = re^{j\phi}$ と置くことで $\oint_C\frac{dz}{z - p} = 2\pi j$ となることを示せ。ただし、$r$ と $\phi$ は共に実数であり、$r > 0$ とする。

(2) 下記に示す式 $(2.1)$ の定積分を考える。$a$ は定数である。

$$\begin{align} \int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{1 - 2a \cos\theta + a^2} \quad |a| < 1 \tag{2.1} \end{align}$$

(a) 関数 $g(\theta) = \frac{1}{1 - 2a\cos\theta + a^2}$ は，$g(\theta) = \frac{1}{(1 - ah(\theta))(1 - a/h(\theta))}$の形で表される。関数 $h(\theta)$ を求めよ。導出過程を示すこと。

(b) $z = e^{j\theta}$ と置くことで、式 $(2.1)$ を $z$ の積分式として表せ。

($c$) 式 $(2.1)$ の定積分を求めよ。

题目描述

回答下列复函数问题，以 $j$ 表示虚数单位，$j^2=-1$。

1. 对

   $$f(z)=\frac1{z-p},$$

   其中 $p$ 为复数，沿内部包含奇点 $p$ 的闭合积分路 $C$ 作围道积分。通过令

   $$z-p=re^{j\phi},$$

   其中 $r,\phi$ 为实数且 $r>0$，证明

   $$\oint_C\frac{\mathrm dz}{z-p}=2\pi j.$$

2. 对常数 $a$ 且 $|a|<1$，考虑定积分

   $$\int_0^{2\pi} \frac{\mathrm d\theta}{1-2a\cos\theta+a^2}. \tag{2.1}$$

   1. 函数

      $$g(\theta)=\frac1{1-2a\cos\theta+a^2}$$

      可写为

      $$g(\theta) =\frac1{(1-ah(\theta))(1-a/h(\theta))}.$$

      求 $h(\theta)$，并写出推导。

   2. 作代换 $z=e^{j\theta}$，把 (2.1) 写成关于 $z$ 的围道积分。

   3. 计算定积分 (2.1)。

Kai

(1)

$C$ を $p$ の周りに反時計回りに一周する積分路とする。$z-p=re^{j\phi}$ より、

$$\frac{dz}{z-p}=\frac{dr}{r}+j\,d\phi.$$

閉曲線上で $\ln r$ の変化は $0$、偏角の変化は $2\pi$ なので、

$$\boxed{\oint_C\frac{dz}{z-p}=2\pi j}.$$

(2)

(a)

$2\cos\theta=e^{j\theta}+e^{-j\theta}$ より、

$$1-2a\cos\theta+a^2=(1-ae^{j\theta})(1-ae^{-j\theta}).$$

したがって、$\boxed{h(\theta)=e^{j\theta}}$ と選べる。$e^{-j\theta}$ でもよい。

(b)

$z=e^{j\theta}$、$d\theta=dz/(jz)$ とおくと、単位円 $C$ を正方向に回るので、

$$\boxed{I=\frac1j\oint_C\frac{dz}{(1-az)(z-a)}}.$$

(c)

$|a|<1$ だから、単位円内の極は $z=a$ のみであり、

$$\operatorname{Res}_{z=a}\frac{1}{(1-az)(z-a)}=\frac1{1-a^2}.$$

留数定理により、

$$\boxed{I=\frac1j\cdot2\pi j\cdot\frac1{1-a^2} =\frac{2\pi}{1-a^2}}.$$

この計算は $a=0$ の場合にも成り立つ。