東京工業大学 工学院 電気電子系 2018年8月実施 電磁気学3

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• 东京科学大学
• 安培定律
• 电磁感应与电感
• 磁场能量
• 磁力
• 互感

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図 3.1、図 3.2 に示すように、透磁率 $\mu$、断面積 $S$ の鉄心にコイルが繋がっている。1 次および 2 次コイルの巻数は $N_1$ および $N_2$ である。1 次コイルを流れる交流電流を $i_1$、2 次コイルを流れる交流電流を $i_2$ とする。コイルの抵抗は無視し、$i_1,i_2$ の振幅は常に一定とする。以下の問に答えよ。ただし、導出の過程も記せ。

(1) 図 3.1 に示すように、鉄心が 2 つのコイルを貫く場合を考える。鉄心の磁路長を $l_1$ とする。鉄心中の磁束は外部に漏れ出ず、鉄心中のみに生じるとする。

• (a) 1 次コイルを流れる電流 $i_1$ によって、鉄心内部に磁界が発生する。この現象の法則名を答えよ。また、1 次コイルのみに電流が流れるとき $(i_2=0)$、鉄心内部で発生する磁束を求めよ。
• (b) 1 次コイルの自己インダクタンス $L_1$ を求めよ。
• (c) 同様に、2 次コイルのみに電流 $i_2$ が流れるとき $(i_1=0)$、鉄心内部で発生する磁束ならびに 2 次コイルの自己インダクタンス $L_2$ を求めよ。
• (d) 1 次コイルと 2 次コイルの相互インダクタンス $M$ を求めよ。

(2) 図 3.2 に示すように、鉄心が途中で上下に距離 $x$ だけ分離し、空隙がある状況を考える。鉄心の上部と下部の磁路長は同一で、$l_2$ とする。上部の鉄心のみにコイルが巻かれており、コイルに電流 $i_1$ が流れている。コイルを貫く磁束は、鉄心内部ならびに断面積 $S$ の空隙のみに生じるとし、空隙における透磁率を $\mu_0$ とする。また、鉄心は固定されており動かないものとする。

• (a) 空隙内を貫く磁束密度を求めよ。
• (b) コイルの自己インダクタンスを求めよ。
• (c) コイルに蓄えられる磁気エネルギーを求めよ。
• (d) 上下 2 つの鉄心間に働く力の大きさを求めよ。

図は東京工業大学 2019 年度大学院入試の原題より。

题目描述

磁导率为 $\mu$、截面积为 $S$ 的铁芯上绕有匝数分别为 $N_1,N_2$ 的线圈，交流电流分别为 $i_1,i_2$，电流振幅保持不变，忽略线圈电阻。回答下列问题并写出推导。

(1) 图 3.1 中磁通完全限制在闭合铁芯内部，磁路长度为 $l_1$。

• (a) 回答电流产生磁场所遵循的定律名称，并求仅一次线圈通电时的磁通。
• (b) 求一次线圈的自感 $L_1$。
• (c) 求仅二次线圈通电时的磁通和自感 $L_2$。
• (d) 求两线圈的互感 $M$。

(2) 图 3.2 中铁芯分成上下两部分，两侧气隙的长度各为 $x$，上下铁芯的磁路长度各为 $l_2$。仅上半部绕有 $N_1$ 匝线圈并通以 $i_1$。磁通仅通过铁芯和截面积为 $S$ 的气隙，气隙磁导率为 $\mu_0$；铁芯固定不动。

• (a) 求气隙内的磁感应强度。
• (b) 求线圈自感。
• (c) 求储存的磁能。
• (d) 求上下两块铁芯间的吸引力大小。

Kai

(1)

(a)

法則名はアンペールの法則である。

$$Hl_1=N_1i_1,\qquad B=\mu H$$

より、磁束は

$$\boxed{\Phi_1=BS=\frac{\mu SN_1i_1}{l_1}}.$$

(b)

磁束鎖交数 $N_1\Phi_1=L_1i_1$ より、

$$\boxed{L_1=\frac{\mu SN_1^2}{l_1}}.$$

(c)

同様に、

$$\boxed{\Phi_2=\frac{\mu SN_2i_2}{l_1},\qquad L_2=\frac{\mu SN_2^2}{l_1}}.$$

(d)

1 次電流による 2 次の磁束鎖交数は $N_2\Phi_1=Mi_1$ なので、図の巻線方向を対応させると、

$$\boxed{M=\frac{\mu SN_1N_2}{l_1}=\sqrt{L_1L_2}}.$$

(2)

(a)

磁束密度は断面全体で共通である。鉄心二つと空隙二つに対するアンペールの法則から、

$$2l_2\frac B\mu+2x\frac B{\mu_0}=N_1i_1.$$

したがって、

$$\boxed{B=\frac{\mu\mu_0N_1i_1}{2(\mu_0l_2+\mu x)}}.$$

(b)

$\Phi=BS$ と $N_1\Phi=Li_1$ より、

$$\boxed{L=\frac{\mu\mu_0SN_1^2}{2(\mu_0l_2+\mu x)}}.$$

(c)

$$\boxed{W=\frac12Li_1^2 =\frac{\mu\mu_0SN_1^2i_1^2}{4(\mu_0l_2+\mu x)}}.$$

(d)

一つの空隙面における磁気圧は $B^2/(2\mu_0)$ であり、面積 $S$ の面が二つある。したがって、上下の鉄心を引き寄せる力の大きさは

$$\boxed{F=2S\frac{B^2}{2\mu_0} =\frac{\mu^2\mu_0SN_1^2i_1^2}{4(\mu_0l_2+\mu x)^2}}.$$

一定電流での仮想変位を用いても、$x$ 方向の力は $F_x=\frac12i_1^2\,dL/dx=-F$ となる。上式は瞬時値であり、正弦波電流の振幅が $I_1$ なら時間平均は $i_1^2$ を $I_1^2/2$ に置き換える。