東京工業大学 工学院 電気電子系 2018年8月実施 電磁気学3 Author 祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)
Description 図3.1、図3.2に示すように、透磁率 μ \mu μ S S S N 1 N_1 N 1 N 2 N_2 N 2 i 1 i_1 i 1 i 2 i_2 i 2 i 1 , i 2 i_1,i_2 i 1 , i 2
図3.1に示すように、鉄心が2つのコイルを貫く場合を考える。鉄心の磁路長を l 1 l_1 l 1
a) 1次コイルを流れる電流 i 1 i_1 i 1 i 2 = 0 i_2=0 i 2 = 0
b) 1次コイルの自己インダクタンス L 1 L_1 L 1
c) b) と同様に、2次コイルのみに電流 i 2 i_2 i 2 i 1 = 0 i_1=0 i 1 = 0 L 2 L_2 L 2
d) 1次コイルと2次コイルの相互インダクタンス M M M
図3.2に示すように、鉄心が途中で上下に距離 x x x l 2 l_2 l 2 i 1 i_1 i 1 S S S μ 0 \mu_0 μ 0
a) 空隙内を貫く磁束密度を求めよ。
b) コイルの自己インダクタンスを求めよ。
c) コイルに蓄えられる磁気エネルギーを求めよ。
d) 上下2つの鉄心間に働く力の大きさを求めよ。
题目描述
如图3.1、3.2，磁导率为 μ \mu μ S S S N 1 , N 2 N_1,N_2 N 1 , N 2 i 1 , i 2 i_1,i_2 i 1 , i 2 i 1 , i 2 i_1,i_2 i 1 , i 2
考虑图3.1中铁芯穿过两个线圈的情况，铁芯磁路长为 l 1 l_1 l 1
a) 一次线圈的电流 i 1 i_1 i 1 i 2 = 0 i_2=0 i 2 = 0
b) 求一次线圈的自感 L 1 L_1 L 1
c) 与 b) 类似，在仅二次线圈有电流 i 2 i_2 i 2 i 1 = 0 i_1=0 i 1 = 0 L 2 L_2 L 2
d) 求一次、二次线圈的互感 M M M
如图3.2，将铁芯中途上下分离距离 x x x l 2 l_2 l 2 i 1 i_1 i 1 S S S μ 0 \mu_0 μ 0
a) 求穿过气隙的磁通密度。
b) 求线圈的自感。
c) 求线圈储存的磁场能量。
d) 求上下两部分铁芯之间作用力的大小。
Kai (1)
(a)
法則名はアンペールの法則である。
H l 1 = N 1 i 1 , B = μ H Hl_1=N_1i_1,\qquad B=\mu H H l 1 = N 1 i 1 , B = μ H より、磁束は
Φ 1 = B S = μ S N 1 i 1 l 1 . \boxed{\Phi_1=BS=\frac{\mu SN_1i_1}{l_1}}. Φ 1 = BS = l 1 μ S N 1 i 1 . (b)
磁束鎖交数 N 1 Φ 1 = L 1 i 1 N_1\Phi_1=L_1i_1 N 1 Φ 1 = L 1 i 1
L 1 = μ S N 1 2 l 1 . \boxed{L_1=\frac{\mu SN_1^2}{l_1}}. L 1 = l 1 μ S N 1 2 . (c)
同様に、
Φ 2 = μ S N 2 i 2 l 1 , L 2 = μ S N 2 2 l 1 . \boxed{\Phi_2=\frac{\mu SN_2i_2}{l_1},\qquad
L_2=\frac{\mu SN_2^2}{l_1}}. Φ 2 = l 1 μ S N 2 i 2 , L 2 = l 1 μ S N 2 2 . (d)
1 次電流による 2 次の磁束鎖交数は N 2 Φ 1 = M i 1 N_2\Phi_1=Mi_1 N 2 Φ 1 = M i 1
M = μ S N 1 N 2 l 1 = L 1 L 2 . \boxed{M=\frac{\mu SN_1N_2}{l_1}=\sqrt{L_1L_2}}. M = l 1 μ S N 1 N 2 = L 1 L 2 . (2)
(a)
磁束密度は断面全体で共通である。鉄心二つと空隙二つに対するアンペールの法則から、
2 l 2 B μ + 2 x B μ 0 = N 1 i 1 . 2l_2\frac B\mu+2x\frac B{\mu_0}=N_1i_1. 2 l 2 μ B + 2 x μ 0 B = N 1 i 1 . したがって、
B = μ μ 0 N 1 i 1 2 ( μ 0 l 2 + μ x ) . \boxed{B=\frac{\mu\mu_0N_1i_1}{2(\mu_0l_2+\mu x)}}. B = 2 ( μ 0 l 2 + μx ) μ μ 0 N 1 i 1 . (b)
Φ = B S \Phi=BS Φ = BS N 1 Φ = L i 1 N_1\Phi=Li_1 N 1 Φ = L i 1
L = μ μ 0 S N 1 2 2 ( μ 0 l 2 + μ x ) . \boxed{L=\frac{\mu\mu_0SN_1^2}{2(\mu_0l_2+\mu x)}}. L = 2 ( μ 0 l 2 + μx ) μ μ 0 S N 1 2 . (c)
W = 1 2 L i 1 2 = μ μ 0 S N 1 2 i 1 2 4 ( μ 0 l 2 + μ x ) . \boxed{W=\frac12Li_1^2
=\frac{\mu\mu_0SN_1^2i_1^2}{4(\mu_0l_2+\mu x)}}. W = 2 1 L i 1 2 = 4 ( μ 0 l 2 + μx ) μ μ 0 S N 1 2 i 1 2 . (d)
一つの空隙面における磁気圧は B 2 / ( 2 μ 0 ) B^2/(2\mu_0) B 2 / ( 2 μ 0 ) S S S
F = 2 S B 2 2 μ 0 = μ 2 μ 0 S N 1 2 i 1 2 4 ( μ 0 l 2 + μ x ) 2 . \boxed{F=2S\frac{B^2}{2\mu_0}
=\frac{\mu^2\mu_0SN_1^2i_1^2}{4(\mu_0l_2+\mu x)^2}}. F = 2 S 2 μ 0 B 2 = 4 ( μ 0 l 2 + μx ) 2 μ 2 μ 0 S N 1 2 i 1 2 . 一定電流での仮想変位を用いても、x x x F x = 1 2 i 1 2 d L / d x = − F F_x=\frac12i_1^2\,dL/dx=-F F x = 2 1 i 1 2 d L / d x = − F I 1 I_1 I 1 i 1 2 i_1^2 i 1 2 I 1 2 / 2 I_1^2/2 I 1 2 /2
