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東京工業大学 工学院 電気電子系 2018年8月実施 電磁気学2

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

電気映像法に関する以下の問に答えよ。導体や電荷は全て真空中にあり、真空の誘電率を ε0\varepsilon_0 とする。導体端面における電界の乱れは無視する。原点を O(0,0,0)\mathrm O(0,0,0) とする。

  1. 図2.1のように、接地された無限に広い平面状の完全導体から距離 hh の位置 (h,0,0)(h,0,0) に、正の電荷量 qq を持つ点電荷を置く。

a) 映像電荷の位置と電荷量を示せ。

b) 点電荷に働く力の方向と大きさを求めよ。

c) x>0x>0 の任意の点における電位は、真電荷による電位と映像電荷による電位の和となる。点 (x,y,0)(x,y,0) における電位を求めよ。

d) 導体表面に誘起される電荷は、導体表面における電界強度から求めることができる。原点 O(0,0,0)\mathrm O(0,0,0) から距離 rr の位置における面電荷密度を求めよ。

図2.1 接地導体平面と点電荷

図2.2 自由空間の双極子、図2.3 接地導体平面に平行な双極子

  1. 図2.2のように、2点 A(0,h,0)\mathrm A(0,h,0) と B(0,−h,0)\mathrm B(0,-h,0) にそれぞれ +q+q と −q-q の電荷が置かれた電気双極子を考える。

a) 点 P(x,y,0)\mathrm P(x,y,0) の電位は、

V=qh2πε0⋅yr3V=\frac{qh}{2\pi\varepsilon_0}\cdot\frac y{r^3}

となることを示せ。rr は双極子の中心から点 P までの距離であり、r=x2+y2r=\sqrt{x^2+y^2} である。また、r≫2hr\gg2h として、hh に関する二次の項は無視してよい。また、δ\delta が十分に小さいときに成り立つ近似式、(1+δ)n≃1+nδ(1+\delta)^n\simeq1+n\delta を用いてよい。

b) 点 P が xx 軸上にあるとき、点 P(x,0,0)\mathrm P(x,0,0) における xx 方向および yy 方向の電界を求めよ。

  1. +q+q と −q-q の電荷が 2h2h 離れて置かれた電気双極子を、図2.3のように完全導体表面から距離 rr の位置に置く。このとき、双極子には導体表面に近づく向きに力が働く。ただし、r≫2hr\gg2h とする。

a) 電界 E\boldsymbol E の中に置かれた双極子は W=−P⋅EW=-\boldsymbol P\cdot\boldsymbol E で与えられるエネルギーを持つ。図2.3のように置かれた双極子が持つエネルギーを求めよ。ここで、P\boldsymbol P は双極子モーメントと呼ばれ、−q-q の電荷から +q+q の電荷に向かう位置ベクトルを l\boldsymbol l とすると、P=ql\boldsymbol P=q\boldsymbol l で表される。

b) 双極子に働く力の大きさを求めよ。

题目描述​

回答以下有关电像法的问题。导体和电荷均位于真空中，真空介电常数为 ε0\varepsilon_0。忽略导体端面的电场畸变，以 O(0,0,0)\mathrm O(0,0,0) 为原点。

  1. 如图2.1，在距接地的无限大平面理想导体 hh 的位置 (h,0,0)(h,0,0)，放置电荷量为正值 qq 的点电荷。

a) 给出镜像电荷的位置和电荷量。

b) 求点电荷所受力的方向和大小。

c) x>0x>0 的任意点的电势为真实电荷和镜像电荷各自产生的电势之和，求点 (x,y,0)(x,y,0) 的电势。

d) 导体表面的感应电荷可由导体表面电场强度求得。求表面上距原点 O(0,0,0)\mathrm O(0,0,0) 为 rr 处的面电荷密度。

  1. 如图2.2，在 A(0,h,0)\mathrm A(0,h,0) 和 B(0,−h,0)\mathrm B(0,-h,0) 两点分别放置 +q,−q+q,-q 电荷，构成电偶极子。

a) 证明点 P(x,y,0)\mathrm P(x,y,0) 的电势为

V=qh2πε0⋅yr3.V=\frac{qh}{2\pi\varepsilon_0}\cdot\frac y{r^3}.

其中 rr 为偶极子中心到 P 点的距离，r=x2+y2r=\sqrt{x^2+y^2}。设 r≫2hr\gg2h，可忽略关于 hh 的二次项，并可使用 δ\delta 足够小时成立的近似式 (1+δ)n≃1+nδ(1+\delta)^n\simeq1+n\delta。

b) 当 P 点位于 xx 轴上时，求 P(x,0,0)\mathrm P(x,0,0) 处的 xx、yy 方向电场。

  1. 将 +q,−q+q,-q 两电荷相距 2h2h 的电偶极子按图2.3放在距理想导体表面 rr 的位置。此时偶极子受到指向导体表面的力。假设 r≫2hr\gg2h。

a) 位于电场 E\boldsymbol E 中的电偶极子具有能量 W=−P⋅EW=-\boldsymbol P\cdot\boldsymbol E。求图2.3所示偶极子的能量。其中 P\boldsymbol P 称为偶极矩，若从 −q-q 指向 +q+q 的位置向量为 l\boldsymbol l，则 P=ql\boldsymbol P=q\boldsymbol l。

b) 求偶极子所受力的大小。

Kai​

(1)​

(a)​

接地面 x=0x=0 の電位を 00 にするため、

位置 (−h,0,0),電荷量 −q\boxed{\text{位置 }(-h,0,0),\qquad\text{電荷量 }-q}

の映像電荷を置く。

(b)​

実電荷と映像電荷の距離は 2h2h なので、

F=−q216πε0h2ex.\boxed{\boldsymbol F=-\frac{q^2}{16\pi\varepsilon_0h^2}\boldsymbol e_x}.

(c)​

無限遠の電位を 00 とすると、

V(x,y,0)=q4πε0[1(x−h)2+y2−1(x+h)2+y2].\boxed{V(x,y,0)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left[\frac1{\sqrt{(x-h)^2+y^2}} -\frac1{\sqrt{(x+h)^2+y^2}}\right]}.

(d)​

導体から真空に向かう法線は ex\boldsymbol e_x である。x=0x=0、y2+z2=r2y^2+z^2=r^2 において、

Ex=−∂V∂x∣x=0=−qh2πε0(h2+r2)3/2.E_x=-\left.\frac{\partial V}{\partial x}\right|_{x=0} =-\frac{qh}{2\pi\varepsilon_0(h^2+r^2)^{3/2}}.

よって、

σ(r)=ε0Ex=−qh2π(h2+r2)3/2.\boxed{\sigma(r)=\varepsilon_0E_x =-\frac{qh}{2\pi(h^2+r^2)^{3/2}}}.

(2)​

(a)​

二つの点電荷による電位を加え、h/rh/r の一次まで展開する。

V=q4πε0[1r2−2yh+h2−1r2+2yh+h2]≃q4πε0r[(1+yhr2)−(1−yhr2)]=qh2πε0yr3.\begin{aligned} V&=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left[\frac1{\sqrt{r^2-2yh+h^2}}-\frac1{\sqrt{r^2+2yh+h^2}}\right]\\ &\simeq\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r} \left[\left(1+\frac{yh}{r^2}\right)-\left(1-\frac{yh}{r^2}\right)\right]\\ &=\boxed{\frac{qh}{2\pi\varepsilon_0}\frac{y}{r^3}}. \end{aligned}

(b)​

y=0y=0 では対称性から Ex=0E_x=0。電位を yy で微分してから y=0y=0 とおくと、

Ex=0,Ey≃−qh2πε0∣x∣3.\boxed{E_x=0,\qquad E_y\simeq-\frac{qh}{2\pi\varepsilon_0|x|^3}}.

有限の電荷間隔に対する厳密式は Ey=−qh/[2πε0(x2+h2)3/2]E_y=-qh/[2\pi\varepsilon_0(x^2+h^2)^{3/2}] である。

(3)​

(a)​

実双極子のモーメントを P=Pey\boldsymbol P=P\boldsymbol e_y、P=2qhP=2qh とする。中心 (−r,0,0)(-r,0,0) に置く映像双極子は −Pey-P\boldsymbol e_y であり、実双極子の中心に作る電界は

Eim=P4πε0(2r)3ey.\boldsymbol E_{\mathrm{im}}=\frac{P}{4\pi\varepsilon_0(2r)^3}\boldsymbol e_y.

したがって、設問の W=−P⋅EW=-\boldsymbol P\cdot\boldsymbol E による相互作用エネルギーは

W=−P232πε0r3=−q2h28πε0r3.\boxed{W=-\frac{P^2}{32\pi\varepsilon_0r^3} =-\frac{q^2h^2}{8\pi\varepsilon_0r^3}}.

導体の誘導電荷まで含めて、実双極子を無限遠から運ぶ仕事に対応する系のエネルギーは、誘導電荷の形成を考慮して

U=12W=−q2h216πε0r3.\boxed{U=\frac12W=-\frac{q^2h^2}{16\pi\varepsilon_0r^3}}.

(b)​

実電荷二つに働く映像電荷からのクーロン力を直接加えると、

Fx=q24πε0[−12r2+r2(r2+h2)3/2]≃−3q2h216πε0r4.F_x=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0} \left[-\frac1{2r^2}+\frac{r}{2(r^2+h^2)^{3/2}}\right] \simeq-\frac{3q^2h^2}{16\pi\varepsilon_0r^4}.

したがって、導体に向かう吸引力の大きさは

∣F∣=3q2h216πε0r4.\boxed{|\boldsymbol F|=\frac{3q^2h^2}{16\pi\varepsilon_0r^4}}.

これは Fx=−dU/drF_x=-dU/dr と一致する。WW を使う場合は、映像双極子の位置を固定したまま実双極子の座標で微分する。映像位置も −r-r として動かした W(r)W(r) の全微分は、力を二重に数える。

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