東京工業大学 工学院 電気電子系 2018年8月実施 電磁気学2

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• 东京科学大学
• 镜像法
• 电偶极子的电势
• 静电力
• 电容与静电能

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

電気映像法に関する以下の問に答えよ。導体や電荷は全て真空中にあり、真空の誘電率を $\varepsilon_0$ とする。導体端面における電界の乱れは無視する。原点を $\mathrm O(0,0,0)$ とする。

(1) 図 2.1 のように、接地された無限に広い平面状の完全導体から距離 $h$ の位置 $(h,0,0)$ に、正の電荷量 $q$ を持つ点電荷を置く。

• (a) 映像電荷の位置と電荷量を示せ。
• (b) 点電荷に働く力の方向と大きさを求めよ。
• (c) $x>0$ の任意の点における電位は、真電荷による電位と映像電荷による電位の和となる。点 $(x,y,0)$ における電位を求めよ。
• (d) 導体表面に誘起される電荷は、導体表面における電界強度から求めることができる。原点から距離 $r$ の位置における面電荷密度を求めよ。

(2) 図 2.2 のように、2 点 $\mathrm A(0,h,0)$ と $\mathrm B(0,-h,0)$ にそれぞれ $+q$ と $-q$ の電荷が置かれた電気双極子を考える。

• (a) 点 $\mathrm P(x,y,0)$ の電位が

  $$V=\frac{qh}{2\pi\varepsilon_0}\frac{y}{r^3}$$

  となることを示せ。$r=\sqrt{x^2+y^2}$ は双極子の中心から点 P までの距離であり、$r\gg2h$ として $h$ に関する二次の項は無視してよい。また、$\delta$ が十分に小さいときの近似式 $(1+\delta)^n\simeq1+n\delta$ を用いてよい。

• (b) 点 P が $x$ 軸上にあるとき、点 $\mathrm P(x,0,0)$ における $x$ 方向および $y$ 方向の電界を求めよ。

(3) $+q$ と $-q$ の電荷が $2h$ 離れて置かれた電気双極子を、図 2.3 のように完全導体表面から距離 $r$ の位置に置く。このとき、双極子には導体表面に近づく向きに力が働く。ただし $r\gg2h$ とする。

• (a) 電界 $\boldsymbol E$ の中に置かれた双極子は $W=-\boldsymbol P\cdot\boldsymbol E$ で与えられるエネルギーを持つ。図 2.3 のように置かれた双極子が持つエネルギーを求めよ。ここで $\boldsymbol P=q\boldsymbol l$ は双極子モーメントであり、$\boldsymbol l$ は $-q$ の電荷から $+q$ の電荷に向かう位置ベクトルである。
• (b) 双極子に働く力の大きさを求めよ。

図は東京工業大学 2019 年度大学院入試の原題より。

题目描述

所有导体、电荷均在真空中，介电常数为 $\varepsilon_0$，忽略导体边缘效应。

(1) 在接地的无限大理想导体平面 $x=0$ 前方 $(h,0,0)$ 放置正点电荷 $q$。

• (a) 求镜像电荷的位置与电荷量。
• (b) 求点电荷受力的方向与大小。
• (c) 求 $x>0$ 处点 $(x,y,0)$ 的电势。
• (d) 求导体表面距原点 $r$ 处的感应面电荷密度。

(2) 在 $(0,h,0)$ 与 $(0,-h,0)$ 分别放置 $+q$、$-q$，组成电偶极子。

• (a) 当 $r=\sqrt{x^2+y^2}\gg2h$ 时，忽略 $h$ 的二次项，证明点 $(x,y,0)$ 的电势为 $V=qhy/(2\pi\varepsilon_0r^3)$。可用 $(1+\delta)^n\simeq1+n\delta$。
• (b) 求 $x$ 轴上点 $(x,0,0)$ 处的电场分量 $E_x,E_y$。

(3) 将间距为 $2h$ 的上述偶极子平行于接地导体平面放置，其中心距平面为 $r\gg2h$。

• (a) 利用题给的外场中偶极子能量 $W=-\boldsymbol P\cdot\boldsymbol E$，求图 2.3 中偶极子的能量。其中 $\boldsymbol P=q\boldsymbol l$，$\boldsymbol l$ 从负电荷指向正电荷。
• (b) 求偶极子所受吸引力的大小。

Kai

(1)

(a)

接地面 $x=0$ の電位を $0$ にするため、

$$\boxed{\text{位置 }(-h,0,0),\qquad\text{電荷量 }-q}$$

の映像電荷を置く。

(b)

実電荷と映像電荷の距離は $2h$ なので、

$$\boxed{\boldsymbol F=-\frac{q^2}{16\pi\varepsilon_0h^2}\boldsymbol e_x}.$$

(c)

無限遠の電位を $0$ とすると、

$$\boxed{V(x,y,0)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left[\frac1{\sqrt{(x-h)^2+y^2}} -\frac1{\sqrt{(x+h)^2+y^2}}\right]}.$$

(d)

導体から真空に向かう法線は $\boldsymbol e_x$ である。$x=0$、$y^2+z^2=r^2$ において、

$$E_x=-\left.\frac{\partial V}{\partial x}\right|_{x=0} =-\frac{qh}{2\pi\varepsilon_0(h^2+r^2)^{3/2}}.$$

よって、

$$\boxed{\sigma(r)=\varepsilon_0E_x =-\frac{qh}{2\pi(h^2+r^2)^{3/2}}}.$$

(2)

(a)

二つの点電荷による電位を加え、$h/r$ の一次まで展開する。

$$\begin{aligned} V&=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left[\frac1{\sqrt{r^2-2yh+h^2}}-\frac1{\sqrt{r^2+2yh+h^2}}\right]\\ &\simeq\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r} \left[\left(1+\frac{yh}{r^2}\right)-\left(1-\frac{yh}{r^2}\right)\right]\\ &=\boxed{\frac{qh}{2\pi\varepsilon_0}\frac{y}{r^3}}. \end{aligned}$$

(b)

$y=0$ では対称性から $E_x=0$。電位を $y$ で微分してから $y=0$ とおくと、

$$\boxed{E_x=0,\qquad E_y\simeq-\frac{qh}{2\pi\varepsilon_0|x|^3}}.$$

有限の電荷間隔に対する厳密式は $E_y=-qh/[2\pi\varepsilon_0(x^2+h^2)^{3/2}]$ である。

(3)

(a)

実双極子のモーメントを $\boldsymbol P=P\boldsymbol e_y$、$P=2qh$ とする。中心 $(-r,0,0)$ に置く映像双極子は $-P\boldsymbol e_y$ であり、実双極子の中心に作る電界は

$$\boldsymbol E_{\mathrm{im}}=\frac{P}{4\pi\varepsilon_0(2r)^3}\boldsymbol e_y.$$

したがって、設問の $W=-\boldsymbol P\cdot\boldsymbol E$ による相互作用エネルギーは

$$\boxed{W=-\frac{P^2}{32\pi\varepsilon_0r^3} =-\frac{q^2h^2}{8\pi\varepsilon_0r^3}}.$$

導体の誘導電荷まで含めて、実双極子を無限遠から運ぶ仕事に対応する系のエネルギーは、誘導電荷の形成を考慮して

$$\boxed{U=\frac12W=-\frac{q^2h^2}{16\pi\varepsilon_0r^3}}.$$

(b)

実電荷二つに働く映像電荷からのクーロン力を直接加えると、

$$F_x=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0} \left[-\frac1{2r^2}+\frac{r}{2(r^2+h^2)^{3/2}}\right] \simeq-\frac{3q^2h^2}{16\pi\varepsilon_0r^4}.$$

したがって、導体に向かう吸引力の大きさは

$$\boxed{|\boldsymbol F|=\frac{3q^2h^2}{16\pi\varepsilon_0r^4}}.$$

これは $F_x=-dU/dr$ と一致する。$W$ を使う場合は、映像双極子の位置を固定したまま実双極子の座標で微分する。映像位置も $-r$ として動かした $W(r)$ の全微分は、力を二重に数える。