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東京工業大学 工学院 電気電子系 2018年8月実施 電磁気学1

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

真空中に置かれた半径 aa の円柱状誘電体に、中心軸方向の単位長さあたり λ\lambda の正の固定電荷が分布している。円柱は半径に比べて十分に長く、円柱端部における電界の乱れは無視する。誘電体の比誘電率を εr\varepsilon_r、真空の誘電率を ε0\varepsilon_0 とする。また、誘電体の透磁率は真空の透磁率 μ0\mu_0 と等しいものとする。

(1) 円柱が静止している場合を考える。図 1.1 において、円柱の中心軸上の点 O から、中心軸に直交する方向に距離 rr の点 P をとる。

  • (a) 固定電荷が円柱の表面にのみ一様に分布しているとき、点 P における電界強度を求めよ。r>ar>a と 0<r<a0<r<a の場合についてそれぞれ求めること。
  • (b) 固定電荷が円柱内に一様に分布しているとき、点 P における電界強度を求めよ。r>ar>a と 0<r<a0<r<a の場合についてそれぞれ求めること。
  • (c) 円柱の中心から距離 r1r_1 の点 P1\mathrm P_1 にある電荷量 qq の電荷を、図 1.2 のように円柱の中心から距離 r2r_2 の点 P2\mathrm P_2 に移動させた。この移動に必要な仕事を求めよ。ただし、r1>r2>ar_1>r_2>a とする。また、電荷の電荷量は十分に小さく、円柱の電荷による電界に影響を及ぼすことはない。

図1.1、図1.2 円柱状誘電体と電荷の移動

(2) 固定電荷が表面にのみ一様に分布している円柱を、図 1.3 のようにその中心軸を中心にゆっくり回転させる。このとき、表面に固定された電荷の移動速度は光速よりも十分に小さい。

  • (a) 一定の角速度 ω\omega で回転すると、円柱表面には電流が流れていると見なせる。このとき、表面電流密度を求めよ。
  • (b) 円柱が一定の角速度 ω\omega で回転しているとき、円柱内部の磁束密度を求めよ。
  • (c) 回転速度を ω=kt\omega=kt のように時間 tt とともに緩やかに増加させる。このとき、円柱の中心軸から距離 rr の点における電界強度を求めよ。ただし、kk は定数とし、t>0t>0 および r<ar<a とする。

図1.3 円柱の回転

図は東京工業大学 2019 年度大学院入試の原題より。

题目描述​

真空中放置半径为 aa 的长圆柱形电介质，其单位轴向长度的固定正电荷为 λ\lambda，相对介电常数为 εr\varepsilon_r，磁导率为 μ0\mu_0。真空介电常数为 ε0\varepsilon_0，忽略端部效应。

(1) 圆柱静止，点 P 到轴线的距离为 rr。

  • (a) 电荷仅均匀分布在圆柱表面，分别求 r>ar>a 和 0<r<a0<r<a 时的电场强度。
  • (b) 电荷均匀分布在圆柱内部，分别求上述两区域的电场强度。
  • (c) 将不影响原电场的微小电荷 qq 从距轴线 r1r_1 的点移到距轴线 r2r_2 的点，r1>r2>ar_1>r_2>a，求所需的功。

(2) 电荷仅均匀分布在表面，圆柱绕中心轴缓慢旋转，表面电荷的速度远小于光速。

  • (a) 角速度为常数 ω\omega，求表面电流密度。
  • (b) 求圆柱内部的磁感应强度。
  • (c) 若角速度随时间缓慢增加为 ω=kt\omega=kt，求 t>0t>0、r<ar<a 处的电场强度，其中 kk 为常数。

Kai​

円柱軸を zz 軸とし、回転方向を eϕ\boldsymbol e_\phi、角速度ベクトルの方向を ez\boldsymbol e_z とする。

(1)​

(a)​

長さ ℓ\ell、半径 rr の同軸ガウス面に対し、2πrℓDr2\pi r\ell D_r は内部の固定電荷に等しい。したがって、

E(r)={0,0<r<a,λ2πε0rer,r>a.\boxed{\boldsymbol E(r)= \begin{cases} \boldsymbol 0,&0<r<a,\\ \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}\boldsymbol e_r,&r>a. \end{cases}}

(b)​

体積電荷密度は ρ=λ/(πa2)\rho=\lambda/(\pi a^2) である。r<ar<a ではガウス面内の電荷が λℓr2/a2\lambda\ell r^2/a^2 となるので、

E(r)={λr2πε0εra2er,0<r<a,λ2πε0rer,r>a.\boxed{\boldsymbol E(r)= \begin{cases} \dfrac{\lambda r}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r a^2}\boldsymbol e_r,&0<r<a,\\ \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}\boldsymbol e_r,&r>a. \end{cases}}

(c)​

外力のする仕事は電位エネルギーの増加であるから、

W=−q∫r1r2λ2πε0r dr=qλ2πε0ln⁡r1r2.W=-q\int_{r_1}^{r_2}\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}\,dr =\boxed{\frac{q\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{r_1}{r_2}}.

(2)​

(a)​

表面電荷密度 σ=λ/(2πa)\sigma=\lambda/(2\pi a)、速度 v=aωv=a\omega より、

K=σveϕ=λω2πeϕ.\boxed{\boldsymbol K=\sigma v\boldsymbol e_\phi =\frac{\lambda\omega}{2\pi}\boldsymbol e_\phi}.

(b)​

無限長ソレノイドと同様に、外部磁界は 00 で、内部ではアンペールの法則から B=μ0KB=\mu_0K となる。よって、

B=μ0λω2πez.\boxed{\boldsymbol B=\frac{\mu_0\lambda\omega}{2\pi}\boldsymbol e_z}.

(c)​

準静的近似で、半径 r<ar<a の円周にファラデーの法則を適用すると、

2πrEϕ=−ddt(πr2B)=−μ0λkr22.2\pi rE_\phi=-\frac{d}{dt}(\pi r^2B) =-\frac{\mu_0\lambda k r^2}{2}.

内部の静電界は 00 なので、

E=−μ0λkr4πeϕ.\boxed{\boldsymbol E=-\frac{\mu_0\lambda kr}{4\pi}\boldsymbol e_\phi}.

k>0k>0 なら回転とは逆向きの電界である。

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