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東京工業大学 工学院 電気電子系 2018年8月実施 電気回路1

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

図1.1に直流電圧源 E1,E2,E3E_1,E_2,E_3、スイッチ S0,S1,S2,S3S_0,S_1,S_2,S_3、抵抗 RR と 2R2R からなる抵抗網と外部抵抗 RLR_L で構成される回路を示す。接地を基準電位として点 A の電圧を VAV_A とする。下記の問に答えよ。ただし、1)–6) では、スイッチ S0S_0 が開いていて、点 A が外部抵抗 RLR_L と接続しないとする。

  1. スイッチ S1S_1 が電圧源 E1E_1 に接続され、スイッチ S2,S3S_2,S_3 が接地されているとき、VAV_A を E1E_1 の関数で表せ。

  2. スイッチ S2S_2 が電圧源 E2E_2 に接続され、スイッチ S1,S3S_1,S_3 が接地されているとき、VAV_A を E2E_2 の関数で表せ。

  3. スイッチ S3S_3 が電圧源 E3E_3 に接続され、スイッチ S1,S2S_1,S_2 が接地されているとき、VAV_A を E3E_3 の関数で表せ。

  4. スイッチ S1,S2,S3S_1,S_2,S_3 が電圧源 E1,E2,E3E_1,E_2,E_3 にそれぞれ接続されているとき、VAV_A を E1,E2,E3E_1,E_2,E_3 の関数で表せ。

  5. スイッチ S1,S2,S3S_1,S_2,S_3 がすべて接地されているとき、点 A から右側の回路網の合成抵抗を求めよ。

  6. スイッチ S1,S2,S3S_1,S_2,S_3 が電圧源 E1,E2,E3E_1,E_2,E_3 にそれぞれ接続されているとき、点 A から右側の回路網は図1.2に示す等価電圧源で表現できる。等価電圧源の内部抵抗 R0R_0 と電圧 E0E_0 を求めよ。

  7. スイッチ S0S_0 が閉じていて、スイッチ S1,S2,S3S_1,S_2,S_3 が電圧源 E1,E2,E3E_1,E_2,E_3 にそれぞれ接続されているとき、VAV_A を E1,E2,E3,R,RLE_1,E_2,E_3,R,R_L の関数で表せ。

図1.1 抵抗ラダー回路、図1.2 等価電圧源

题目描述​

图1.1所示电路由直流电压源 E1,E2,E3E_1,E_2,E_3、开关 S0,S1,S2,S3S_0,S_1,S_2,S_3、由 RR 和 2R2R 组成的电阻网络以及外部电阻 RLR_L 构成。以地为参考电势，A 点电压为 VAV_A。回答以下问题。1)～6) 中开关 S0S_0 断开，A 点不与外部电阻 RLR_L 连接。

  1. S1S_1 接电压源 E1E_1、S2,S3S_2,S_3 接地时，将 VAV_A 表示为 E1E_1 的函数。

  2. S2S_2 接电压源 E2E_2、S1,S3S_1,S_3 接地时，将 VAV_A 表示为 E2E_2 的函数。

  3. S3S_3 接电压源 E3E_3、S1,S2S_1,S_2 接地时，将 VAV_A 表示为 E3E_3 的函数。

  4. S1,S2,S3S_1,S_2,S_3 分别接电压源 E1,E2,E3E_1,E_2,E_3 时，将 VAV_A 表示为 E1,E2,E3E_1,E_2,E_3 的函数。

  5. S1,S2,S3S_1,S_2,S_3 全部接地时，求从 A 点向右看入的电阻网络的等效电阻。

  6. S1,S2,S3S_1,S_2,S_3 分别接电压源 E1,E2,E3E_1,E_2,E_3 时，A 点右侧的网络可用图1.2的等效电压源表示。求其内阻 R0R_0 和电压 E0E_0。

  7. S0S_0 闭合、S1,S2,S3S_1,S_2,S_3 分别接电压源 E1,E2,E3E_1,E_2,E_3 时，将 VAV_A 表示为 E1,E2,E3,R,RLE_1,E_2,E_3,R,R_L 的函数。

Kai​

点 A の右隣とさらに右隣の節点電位を V2,V3V_2,V_3、各縦枝の下端電位を U1,U2,U3U_1,U_2,U_3 とする。S0S_0 が開いている場合、各節点の電流則は

VA−U12R+VA−V2R=0,V2−U22R+V2−VAR+V2−V3R=0,V3−U32R+V3−V2R+V32R=0.\begin{aligned} \frac{V_A-U_1}{2R}+\frac{V_A-V_2}{R}&=0,\\ \frac{V_2-U_2}{2R}+\frac{V_2-V_A}{R}+\frac{V_2-V_3}{R}&=0,\\ \frac{V_3-U_3}{2R}+\frac{V_3-V_2}{R}+\frac{V_3}{2R}&=0. \end{aligned}

これを解くと、

VA=12U1+14U2+18U3.V_A=\frac12U_1+\frac14U_2+\frac18U_3.

(1)​

(U1,U2,U3)=(E1,0,0)(U_1,U_2,U_3)=(E_1,0,0) より、

VA=12E1.\boxed{V_A=\frac12E_1}.

(2)​

(U1,U2,U3)=(0,E2,0)(U_1,U_2,U_3)=(0,E_2,0) より、

VA=14E2.\boxed{V_A=\frac14E_2}.

(3)​

(U1,U2,U3)=(0,0,E3)(U_1,U_2,U_3)=(0,0,E_3) より、

VA=18E3.\boxed{V_A=\frac18E_3}.

(4)​

重ね合わせの理から、

VA=12E1+14E2+18E3.\boxed{V_A=\frac12E_1+\frac14E_2+\frac18E_3}.

(5)​

右端から順に合成する。X∥Y=XY/(X+Y)X\parallel Y=XY/(X+Y) と書けば、

2R∥2R=R,2R∥(R+R)=R.2R\parallel2R=R,\qquad 2R\parallel(R+R)=R.

同じ操作を点 A まで繰り返すと、

Req=R.\boxed{R_{\mathrm{eq}}=R}.

(6)​

等価電圧は開放電圧、等価内部抵抗は各理想電圧源を短絡したときの合成抵抗なので、

E0=12E1+14E2+18E3,R0=R.\boxed{E_0=\frac12E_1+\frac14E_2+\frac18E_3,\qquad R_0=R}.

(7)​

等価電圧源の内部抵抗と RLR_L による分圧から、

VA=RLR+RL(12E1+14E2+18E3).\boxed{V_A=\frac{R_L}{R+R_L} \left(\frac12E_1+\frac14E_2+\frac18E_3\right)}.
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