東京工業大学 工学院 電気電子系 2018年8月実施 電気回路1

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• 东京科学大学
• 叠加定理
• 戴维南与诺顿等效电路

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図 1.1 に直流電圧源 $E_1,E_2,E_3$、スイッチ $S_0,S_1,S_2,S_3$、抵抗 $R$ と $2R$ からなる抵抗網と外部抵抗 $R_L$ で構成される回路を示す。接地を基準電位として、点 A の電圧を $V_A$ とする。下記の問に答えよ。ただし、(1)–(6) ではスイッチ $S_0$ が開いていて、点 A が外部抵抗 $R_L$ と接続しないとする。

(1) スイッチ $S_1$ が電圧源 $E_1$ に接続され、スイッチ $S_2,S_3$ が接地されているとき、$V_A$ を $E_1$ の関数で表せ。

(2) スイッチ $S_2$ が電圧源 $E_2$ に接続され、スイッチ $S_1,S_3$ が接地されているとき、$V_A$ を $E_2$ の関数で表せ。

(3) スイッチ $S_3$ が電圧源 $E_3$ に接続され、スイッチ $S_1,S_2$ が接地されているとき、$V_A$ を $E_3$ の関数で表せ。

(4) スイッチ $S_1,S_2,S_3$ が電圧源 $E_1,E_2,E_3$ にそれぞれ接続されているとき、$V_A$ を $E_1,E_2,E_3$ の関数で表せ。

(5) スイッチ $S_1,S_2,S_3$ がすべて接地されているとき、点 A から右側の回路網の合成抵抗を求めよ。

(6) スイッチ $S_1,S_2,S_3$ が電圧源 $E_1,E_2,E_3$ にそれぞれ接続されているとき、点 A から右側の回路網は図 1.2 に示す等価電圧源で表現できる。等価電圧源の内部抵抗 $R_0$ と電圧 $E_0$ を求めよ。

(7) スイッチ $S_0$ が閉じていて、スイッチ $S_1,S_2,S_3$ が電圧源 $E_1,E_2,E_3$ にそれぞれ接続されているとき、$V_A$ を $E_1,E_2,E_3,R,R_L$ の関数で表せ。

図は東京工業大学 2019 年度大学院入試の原題より。

题目描述

图 1.1 的电路由直流电压源 $E_1,E_2,E_3$、开关 $S_0,S_1,S_2,S_3$、阻值为 $R,2R$ 的梯形电阻网络和负载 $R_L$ 组成。以地为参考电势，点 A 的电压为 $V_A$。第 (1)–(6) 问中 $S_0$ 断开，负载未接入。

(1) 仅 $S_1$ 接 $E_1$，其余接地，求 $V_A$。

(2) 仅 $S_2$ 接 $E_2$，其余接地，求 $V_A$。

(3) 仅 $S_3$ 接 $E_3$，其余接地，求 $V_A$。

(4) 三个开关分别接相应电源，求 $V_A$。

(5) 三个开关均接地，求从 A 向右看进去的等效电阻。

(6) 三个开关分别接相应电源，求图 1.2 的戴维南等效电压 $E_0$ 和内阻 $R_0$。

(7) 闭合 $S_0$ 接入负载，三个开关分别接相应电源，求 $V_A$。

Kai

点 A の右隣とさらに右隣の節点電位を $V_2,V_3$、各縦枝の下端電位を $U_1,U_2,U_3$ とする。$S_0$ が開いている場合、各節点の電流則は

$$\begin{aligned} \frac{V_A-U_1}{2R}+\frac{V_A-V_2}{R}&=0,\\ \frac{V_2-U_2}{2R}+\frac{V_2-V_A}{R}+\frac{V_2-V_3}{R}&=0,\\ \frac{V_3-U_3}{2R}+\frac{V_3-V_2}{R}+\frac{V_3}{2R}&=0. \end{aligned}$$

これを解くと、

$$V_A=\frac12U_1+\frac14U_2+\frac18U_3.$$

(1)

$(U_1,U_2,U_3)=(E_1,0,0)$ より、

$$\boxed{V_A=\frac12E_1}.$$

(2)

$(U_1,U_2,U_3)=(0,E_2,0)$ より、

$$\boxed{V_A=\frac14E_2}.$$

(3)

$(U_1,U_2,U_3)=(0,0,E_3)$ より、

$$\boxed{V_A=\frac18E_3}.$$

(4)

重ね合わせの理から、

$$\boxed{V_A=\frac12E_1+\frac14E_2+\frac18E_3}.$$

(5)

右端から順に合成する。$X\parallel Y=XY/(X+Y)$ と書けば、

$$2R\parallel2R=R,\qquad 2R\parallel(R+R)=R.$$

同じ操作を点 A まで繰り返すと、

$$\boxed{R_{\mathrm{eq}}=R}.$$

(6)

等価電圧は開放電圧、等価内部抵抗は各理想電圧源を短絡したときの合成抵抗なので、

$$\boxed{E_0=\frac12E_1+\frac14E_2+\frac18E_3,\qquad R_0=R}.$$

(7)

等価電圧源の内部抵抗と $R_L$ による分圧から、

$$\boxed{V_A=\frac{R_L}{R+R_L} \left(\frac12E_1+\frac14E_2+\frac18E_3\right)}.$$