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東京工業大学 工学院 電気電子系 2017年8月実施 電磁気学3

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

電磁波に関する以下の問に答えよ。

(A)​

以下の四つの式は、電磁界の基本方程式を微分形で書き表したものである。それぞれの説明文について、（ア）～（キ）の中に当てはまる言葉を書け。ただし、E\mathbf E は電界、H\mathbf H は磁界、D\mathbf D は電束密度、B\mathbf B は磁束密度、ρ\rho は電荷密度、i\mathbf i は電流密度を表すものとする。

  1. ∇⋅D=ρ\nabla\cdot\mathbf D=\rho：（ア）を中心として電界が発散することを意味する。これを電界に関する（イ）の法則と呼ぶ。
  2. ∇×E=−∂B/∂t\nabla\times\mathbf E=-\partial\mathbf B/\partial t：磁界が時間的に変化すると、その回りに（ウ）が発生することを意味する。これを（エ）の法則と呼ぶ。
  3. ∇⋅B=0\nabla\cdot\mathbf B=0：磁束密度は発散しないので、（オ）は存在しないことを意味する。
  4. ∇×H=i+∂D/∂t\nabla\times\mathbf H=\mathbf i+\partial\mathbf D/\partial t：真電流および時間的に変化する電界と等価な（カ）電流の回りには磁界が発生することを意味する。これを拡張された（キ）の法則と呼ぶ。

(B)​

真空中において、電界が xx 成分だけ、磁界が yy 成分だけを有し、zz 方向に伝搬する角周波数 ω\omega の平面波を考える。真空の透磁率と誘電率はそれぞれ μ0,ε0\mu_0,\varepsilon_0 とする。

  1. 平面波における電界 E\mathbf E、磁界 H\mathbf H、波数 k\mathbf k の三つのベクトルの関係について、図 3.1 の（ク）～（コ）に当てはまるものをそれぞれ答えよ。ただし、⊙\odot は紙面に対して上向きを表す。

図3.1 電界・磁界・波数ベクトルの関係

図の出典：東京工業大学 電気電子系 2017年実施問題（原図）。

  1. 上記 2)、4) の方程式から Ex,HyE_x,H_y 以外の成分を消去することで、Ex,HyE_x,H_y の連立偏微分方程式を求めよ。真空中のため、i=0\mathbf i=0 と置いてよい。
  2. この連立偏微分方程式から HyH_y を消去し、ExE_x に関する波動方程式を導出せよ。
    1. の波動方程式の解として、Ex(z,t)=E0sin⁡(kz−ωt)E_x(z,t)=E_0\sin(kz-\omega t) を考える。ここで、E0E_0 は平面波の電界振幅であり、kk は zz 方向の波数である。この解を波動方程式に代入することから kk を ω,μ0,ε0\omega,\mu_0,\varepsilon_0 で表せ。
  4. sin⁡\sin 関数の引数は平面波の位相を表す。微小時間 Δt\Delta t と微小位置 Δz\Delta z が変化した後の波面（等位相面）の動きを考えることで、この平面波の速度を求めよ。
  5. HyH_y を求めよ。

题目描述​

(A) 对四个 Maxwell 方程的物理意义填空。E,H,D,B,ρ,i\mathbf E,\mathbf H,\mathbf D,\mathbf B,\rho,\mathbf i 分别为电场、磁场、电位移、磁感应强度、电荷密度、电流密度。

  1. ∇⋅D=ρ\nabla\cdot\mathbf D=\rho 表示电场以（ア）为源发散，称为电场的（イ）定律。
  2. ∇×E=−∂B/∂t\nabla\times\mathbf E=-\partial\mathbf B/\partial t 表示随时间变化的磁场周围产生（ウ），称为（エ）定律。
  3. ∇⋅B=0\nabla\cdot\mathbf B=0 表示不存在（オ）。
  4. ∇×H=i+∂D/∂t\nabla\times\mathbf H=\mathbf i+\partial\mathbf D/\partial t 表示传导电流以及与变化电场等效的（カ）电流周围产生磁场，称为推广的（キ）定律。

(B) 真空中的平面波以角频率 ω\omega 沿 zz 方向传播，电场仅有 xx 分量，磁场仅有 yy 分量，真空磁导率和介电常数为 μ0,ε0\mu_0,\varepsilon_0。

  1. 将 E,H,k\mathbf E,\mathbf H,\mathbf k 填入原图 3.1 的（ク）～（コ）；⊙\odot 表示垂直纸面向外。
  2. 由第 2、4 个方程导出 Ex,HyE_x,H_y 的耦合偏微分方程，可取 i=0\mathbf i=0。
  3. 消去 HyH_y，导出 ExE_x 的波动方程。
  4. 代入 Ex=E0sin⁡(kz−ωt)E_x=E_0\sin(kz-\omega t)，用 ω,μ0,ε0\omega,\mu_0,\varepsilon_0 表示波数 kk，其中 E0E_0 为电场振幅。
  5. 根据等相位面的微小位移 Δz\Delta z 与时间变化 Δt\Delta t，求波速。
  6. 求 HyH_y。

Kai​

(1)～(4)​

空欄解答
ア電荷
イガウス
ウ電界
エファラデー
オ磁気単極子（磁荷）
カ変位
キアンペール

(5)​

伝搬方向は E×H\mathbf E\times\mathbf H の向きであるから、

ク:k,ケ:H,コ:E.\boxed{\text{ク}:\mathbf k,\qquad \text{ケ}:\mathbf H,\qquad \text{コ}:\mathbf E}.

(6)​

B=μ0H\mathbf B=\mu_0\mathbf H、D=ε0E\mathbf D=\varepsilon_0\mathbf E を用い、回転の yy 成分と xx 成分をそれぞれ取ると、

∂Ex∂z=−μ0∂Hy∂t,∂Hy∂z=−ε0∂Ex∂t.\boxed{ \frac{\partial E_x}{\partial z}=-\mu_0\frac{\partial H_y}{\partial t}, \qquad \frac{\partial H_y}{\partial z}=-\varepsilon_0\frac{\partial E_x}{\partial t} }.

(7)​

第 1 式を zz で微分し、第 2 式を代入して、

∂2Ex∂z2=−μ0∂∂t∂Hy∂z=μ0ε0∂2Ex∂t2.\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} =-\mu_0\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial H_y}{\partial z} =\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2}.

(8)​

∂z2Ex=−k2Ex\partial_z^2E_x=-k^2E_x、∂t2Ex=−ω2Ex\partial_t^2E_x=-\omega^2E_x より、正の zz 方向に伝搬する波について、

k=ωμ0ε0.\boxed{k=\omega\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}.

(9)​

等位相面では kΔz−ωΔt=0k\Delta z-\omega\Delta t=0 なので、

v=lim⁡Δt→0ΔzΔt=ωk=1μ0ε0.\boxed{v=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta z}{\Delta t} =\frac{\omega}{k}=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}}.

(10)​

第 6 問の第 2 式を積分すると、単色平面波の磁界は

Hy=ε0ωE0ksin⁡(kz−ωt)=E0ε0μ0sin⁡(kz−ωt).H_y=\frac{\varepsilon_0\omega E_0}{k}\sin(kz-\omega t) =\boxed{E_0\sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}}\sin(kz-\omega t)}.

ここでは電磁波に重畳する静磁界を含めていない。この式は第 6 問の両方の方程式を満たす。

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