東京工業大学 工学院 電気電子系 2017年8月実施 電気回路2

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• 东京科学大学
• 相量与阻抗分析
• 交流功率与功率因数
• 最大功率传输

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図2.1に交流電圧源とインダクタ、コンデンサ、抵抗器で構成した回路を示す。ただし、インダクタンスを $L$、キャパシタンスを $C$、抵抗をそれぞれ $R_S$ および $R_L$ とする。また、交流電圧源の電圧フェーザを $\dot E$ とし、その角周波数 $\omega$ は任意に調整できるものとする。以下の問に答えよ。

1. 端子 1-2 から見たインピーダンス $\dot Z_{1-2}$ を求めよ。

2. インピーダンス $\dot Z_{1-2}$ の抵抗分とリアクタンス分を求めよ。

3. 交流電源の角周波数 $\omega$ を調整して交流電源の力率を $1$ にしたい。力率が $1$ となる角周波数 $\omega$ を求めよ。

4. 交流電源の力率を $1$ にできる抵抗 $R_L$ の条件を示せ。

5. 交流電源の角周波数を $\omega=\omega_0$ 一定とし、抵抗 $R_L$ を調整して $R_L$ で消費される電力を最大にしたい。電力が最大となる抵抗 $R_L$ を求めよ。

题目描述

图2.1表示由交流电压源、电感、电容、电阻组成的电路。设电感为 $L$、电容为 $C$，两电阻分别为 $R_S,R_L$。交流电压源的电压相量为 $\dot E$，其角频率 $\omega$ 可任意调节。回答以下问题。

1. 求从端子 1-2 看入的阻抗 $\dot Z_{1-2}$。

2. 求阻抗 $\dot Z_{1-2}$ 的电阻分量和电抗分量。

3. 希望调节交流电源的角频率 $\omega$，使电源的功率因数为 $1$。求此时的角频率 $\omega$。

4. 给出能使交流电源功率因数为 $1$ 的电阻 $R_L$ 的条件。

5. 将交流电源角频率固定为 $\omega=\omega_0$，调节电阻 $R_L$，希望使其消耗的功率最大。求使功率最大的 $R_L$。

Kai

(1)

コンデンサと負荷の並列インピーダンスは $R_L/(1+j\omega CR_L)$ であるから、

$$\boxed{\dot Z_{1-2}=R_S+j\omega L+\frac{R_L}{1+j\omega CR_L}}.$$

(2)

分母を実数化すると、

$$\dot Z_{1-2} =R_S+\frac{R_L}{1+\omega^2C^2R_L^2} +j\left(\omega L-\frac{\omega CR_L^2}{1+\omega^2C^2R_L^2}\right).$$

したがって、抵抗分 $R_{\mathrm{in}}$ とリアクタンス分 $X_{\mathrm{in}}$ は

$$\boxed{R_{\mathrm{in}}=R_S+\frac{R_L}{1+\omega^2C^2R_L^2}}, \qquad \boxed{X_{\mathrm{in}}=\omega L-\frac{\omega CR_L^2}{1+\omega^2C^2R_L^2}}.$$

(3)

交流の角周波数 $\omega>0$ に対し、力率が $1$ となる条件は $X_{\mathrm{in}}=0$ である。よって、

$$L(1+\omega^2C^2R_L^2)=CR_L^2,$$

$$\boxed{\omega=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{1}{C^2R_L^2}}}.$$

(4)

正の実数の角周波数が存在するためには、

$$\frac{1}{LC}-\frac{1}{C^2R_L^2}>0 \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{R_L>\sqrt{\frac{L}{C}}}.$$

等号の場合は $\omega=0$ となり、交流の条件には含まれない。

(5)

負荷 $R_L$ を取り外し、電圧源を短絡したときの負荷端子から見たテブナンインピーダンスは

$$\begin{gathered} Z_{\mathrm{th}} =\left(R_S+j\omega_0L\right)\parallel\frac{1}{j\omega_0C}\\ =\frac{R_S+j\omega_0L}{1-\omega_0^2LC+j\omega_0CR_S}\\ =R_{\mathrm{th}}+jX_{\mathrm{th}}. \end{gathered}$$

テブナン電圧の実効値フェーザを $V_{\mathrm{th}}$ とすると、負荷電力は

$$P_L=\frac{|V_{\mathrm{th}}|^2R_L} {(R_L+R_{\mathrm{th}})^2+X_{\mathrm{th}}^2}.$$

$R_L$ による微分は

$$\frac{\mathrm dP_L}{\mathrm dR_L} =\frac{|V_{\mathrm{th}}|^2\left(R_{\mathrm{th}}^2+X_{\mathrm{th}}^2-R_L^2\right)} {\left[(R_L+R_{\mathrm{th}})^2+X_{\mathrm{th}}^2\right]^2}.$$

したがって、正の抵抗 $R_S,L,C$ に対して電力を最大にする純抵抗負荷は

$$\boxed{R_L=|Z_{\mathrm{th}}| =\sqrt{\frac{R_S^2+\omega_0^2L^2} {(1-\omega_0^2LC)^2+\omega_0^2C^2R_S^2}}}.$$

調整するのは実数の抵抗値のみなので、複素共役整合ではなく $R_L=|Z_{\mathrm{th}}|$ を用いる。