東京工業大学 工学院 電気電子系 2017年8月実施 電気回路1

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• 东京科学大学
• 运算放大器
• 相量与阻抗分析

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図 1.1～図 1.3 の回路について以下の問に答えよ。オペアンプの電圧利得は十分に高いこととする。さらに、オペアンプの入力インピーダンスは十分に高く、出力インピーダンスは十分に低いこととする。また、以下では電圧振幅のみを考える。$v_A,v_B,v_C$ は電圧振幅、$j$ は虚数単位である。

1. 図 1.1 の非反転増幅回路の電圧利得 $G=v_B/v_A$ を抵抗値 $R_1,R_2$ を使って示せ。

2. 図 1.2 のフィルタ回路について、以下の問に答えよ。ただし、抵抗値とキャパシタンスをそれぞれ $R,C$ とする。

   ① 伝達関数 $H(\omega)=v_C/v_B$ を計算し、以下の四角枠部（ア）と（イ）を埋めよ。ただし、角周波数を $\omega$ とする。

   $$H(\omega)=\frac{1}{\boxed{\text{ア}}+j\left(\omega RC+\boxed{\text{イ}}\right)}.$$

   ② $H(\omega)$ の位相が $0$ となる角周波数 $\omega_0$ を求めよ。

   ③ $\omega=\omega_0$ のときの $H(\omega_0)$ の利得 $|H(\omega_0)|$ を示せ。

3. 図 1.3 の回路の X から Y への伝達関数を $W(\omega)$ とする。$\omega=\omega_0$ のときの $W(\omega_0)$ を示せ。

4. 図 1.3 の回路でオペアンプ入力端子 X とフィルタ出力端子 Y を接続したときに、発振するための $R_1,R_2$ の条件を示せ。

図の出典：東京工業大学 電気電子系 2017年実施問題（原図）。

题目描述

考虑原图 1.1～1.3 中的电路。运算放大器电压增益、输入阻抗足够大，输出阻抗足够小。以下只考虑电压振幅；$v_A,v_B,v_C$ 表示电压振幅，$j$ 为虚数单位。

1. 用 $R_1,R_2$ 表示图 1.1 同相放大电路的电压增益 $G=v_B/v_A$。
2. 对图 1.2 的滤波器，电阻、电容分别为 $R,C$。 ① 求传递函数 $H(\omega)=v_C/v_B$，填写 $H(\omega)=1/[\boxed{\text{ア}}+j(\omega RC+\boxed{\text{イ}})]$ 中的两处空白。 ② 求相位为零的角频率 $\omega_0$。 ③ 求此时的增益 $|H(\omega_0)|$。
3. 图 1.3 从 X 到 Y 的传递函数为 $W(\omega)$，求 $W(\omega_0)$。
4. 将图 1.3 的 X 与 Y 相连，求电路产生振荡所需的 $R_1,R_2$ 条件。

Kai

(1)

入力電流を無視すると、反転入力端子の電圧は抵抗分圧により $R_2v_B/(R_1+R_2)$ である。仮想短絡からこれが $v_A$ に等しいので、

$$\boxed{G=1+\frac{R_1}{R_2}}.$$

(2)

①

直列 RC 部分と並列 RC 部分のインピーダンスをそれぞれ $Z_1,Z_2$ とすると、

$$Z_1=R+\frac{1}{j\omega C},\qquad Z_2=\frac{R}{1+j\omega RC}.$$

分圧則より、

$$H(\omega)=\frac{Z_2}{Z_1+Z_2} =\frac{1}{3+j\left(\omega RC-\dfrac{1}{\omega RC}\right)}.$$

したがって、

$$\boxed{\text{ア}=3,\qquad \text{イ}=-\frac{1}{\omega RC}}.$$

②

分母の実部は正であるから、位相が $0$ となる条件は $\omega_0RC-1/(\omega_0RC)=0$。よって、

$$\boxed{\omega_0=\frac{1}{RC}}.$$

③

$$\boxed{|H(\omega_0)|=\frac13}.$$

(3)

オペアンプの低い出力インピーダンスと高い入力インピーダンスにより、

$$\boxed{W(\omega_0)=GH(\omega_0)=\frac{R_1+R_2}{3R_2}}.$$

(4)

$\omega_0$ では一巡位相が $0$ となる。一巡利得が $1$ 以上となる条件は

$$\frac{R_1+R_2}{3R_2}\ge1 \quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{R_1\ge2R_2}.$$

厳密には、理想線形回路で一定振幅の正弦波振動を持続する境界は $R_1=2R_2$ であり、微小な雑音から振幅を成長させる起動条件は $R_1>2R_2$ である。