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東京工業大学 工学院 電気電子系 2016年8月実施 数学3

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

周期 2π2\pi の周期矩形関数 f(x)f(x)

f(x)={1,−π/2≤x≤π/2,−1,−π≤x<−π/2 および π/2<x≤πf(x)=\begin{cases} 1,&-\pi/2\le x\le\pi/2,\\ -1,&-\pi\le x<-\pi/2\ \text{および}\ \pi/2<x\le\pi \end{cases}

がある。別の周期関数 g(x)g(x) との誤差として

E=∫−ππ{f(x)−g(x)}2 dxE=\int_{-\pi}^{\pi}\{f(x)-g(x)\}^2\,dx

を定義する。以下の問に答えよ。

  1. g(x)=Acos⁡xg(x)=A\cos x としたときの EE を計算せよ。

  2. 前問で求めた EE について、∂E/∂A=0\partial E/\partial A=0 から、EE を最小とする AA を求めよ。

  3. g(x)=Bcos⁡2xg(x)=B\cos2x として、EE を最小とする BB を求めよ。

  4. g(x)=Ccos⁡3xg(x)=C\cos3x として、EE を最小とする CC を求めよ。

  5. g(x)=αcos⁡x+βcos⁡2x+γcos⁡3xg(x)=\alpha\cos x+\beta\cos2x+\gamma\cos3x としたときに EE を最小とする α,β,γ\alpha,\beta,\gamma は、問題 2)、3)、4) で別々に求めた A,B,CA,B,C と同じ値になるか否か答えよ。また、その理由を述べよ。

题目描述​

设有周期为 2π2\pi 的周期矩形函数 f(x)f(x)：

f(x)={1,−π/2≤x≤π/2,−1,−π≤x<−π/2 或 π/2<x≤π.f(x)=\begin{cases} 1,&-\pi/2\le x\le\pi/2,\\ -1,&-\pi\le x<-\pi/2\ \text{或}\ \pi/2<x\le\pi. \end{cases}

定义它与另一个周期函数 g(x)g(x) 之间的误差为

E=∫−ππ{f(x)−g(x)}2 dx.E=\int_{-\pi}^{\pi}\{f(x)-g(x)\}^2\,dx.

回答以下问题。

  1. 当 g(x)=Acos⁡xg(x)=A\cos x 时，计算 EE。

  2. 对 1) 求得的 EE，由 ∂E/∂A=0\partial E/\partial A=0 求使 EE 最小的 AA。

  3. 令 g(x)=Bcos⁡2xg(x)=B\cos2x，求使 EE 最小的 BB。

  4. 令 g(x)=Ccos⁡3xg(x)=C\cos3x，求使 EE 最小的 CC。

  5. 若 g(x)=αcos⁡x+βcos⁡2x+γcos⁡3xg(x)=\alpha\cos x+\beta\cos2x+\gamma\cos3x，使 EE 最小的 α,β,γ\alpha,\beta,\gamma 是否与 2)、3)、4) 中分别求得的 A,B,CA,B,C 相同？说明理由。

Kai​

1)​

f2=1f^2=1、∫−ππf(x)cos⁡x dx=4\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos x\,dx=4、∫−ππcos⁡2x dx=π\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2x\,dx=\pi より

E=2π−8A+πA2.\boxed{E=2\pi-8A+\pi A^2}.

2)​

∂E∂A=2πA−8=0,A=4π.\frac{\partial E}{\partial A}=2\pi A-8=0, \qquad \boxed{A=\frac4\pi}.

二階微分が 2π>02\pi>0 なので最小値を与える。

3)​

∫−ππf(x)cos⁡2x dx=0,E=2π+πB2.\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos2x\,dx=0, \qquad E=2\pi+\pi B^2.

従って B=0\boxed{B=0}。

4)​

∫−ππf(x)cos⁡3x dx=−43,E=2π+83C+πC2.\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos3x\,dx=-\frac43, \qquad E=2\pi+\frac83C+\pi C^2.

従って

C=−43π.\boxed{C=-\frac4{3\pi}}.

5)​

同じ値になる。正の整数 m,nm,n について

∫−ππcos⁡(mx)cos⁡(nx) dx=πδmn\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)\cos(nx)\,dx=\pi\delta_{mn}

なので、異なる余弦項の交差項が消える。従って

E=2π−8α+83γ+π(α2+β2+γ2),E=2\pi-8\alpha+\frac83\gamma +\pi(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2),

を各変数について独立に最小化でき、

(α,β,γ)=(4π,0,−43π).\boxed{(\alpha,\beta,\gamma)=\left(\frac4\pi,0,-\frac4{3\pi}\right)}.
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