東京工業大学 工学院 電気電子系 2017年度（2016年8月実施）数学2

标签：

• 东京科学大学
• 柯西–黎曼方程

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

虚数単位を $j$（$j^2=-1$）、複素数を $z=x+jy$（$x,y$ は実数）とする。導出過程を含めて答えよ。

1. 複素平面上で次の図形の概略を示し、どのような図形か説明せよ。

$$|z+1|-|z-1|=1.$$

2. 次の複素関数が正則か否かを判定せよ。正則ならば導関数を求め、$x,y$ を用いて表せ。

$$\text{a)}\quad f(z)=\frac{x+y}{x^2+y^2}+j\frac{x-y}{x^2+y^2}, \qquad \text{b)}\quad f(z)=(\cos x+j\sin x)e^{-y}.$$

题目描述

设 $j^2=-1$、$z=x+jy$。1) 画出并说明 $|z+1|-|z-1|=1$ 表示的图形；2) 判断上面 a)、b) 两函数是否全纯，若全纯，用 $x,y$ 写出导数，并给出推导。

Kai

1)

$|z+1|$ と $|z-1|$ は、それぞれ焦点 $(-1,0)$、$(1,0)$ からの距離である。その差が $1$ なので、焦点距離 $c=1$、実半軸 $a=1/2$、虚半軸 $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt3/2$ の双曲線となる。差の符号から右枝のみを取る。

$$\boxed{4x^2-\frac43y^2=1,\quad x\ge\frac12}.$$

頂点は $(1/2,0)$、漸近線は $y=\pm\sqrt3x$ である。

2) a)

$z\ne0$ において

$$f(z)=\frac{(1+j)(x-jy)}{x^2+y^2}=\frac{1+j}{z}$$

なので、$\mathbb C\setminus\{0\}$ で正則である。原点では定義されない。

$$\boxed{ f'(z)=-\frac{1+j}{z^2} =\frac{-x^2+y^2-2xy}{(x^2+y^2)^2} +j\frac{-x^2+y^2+2xy}{(x^2+y^2)^2} }.$$

2) b)

$f(z)=e^{jz}$ であり、複素平面全体で正則である。

$$\boxed{f'(z)=je^{jz}=e^{-y}(-\sin x+j\cos x)}.$$