東京工業大学 工学院 電気電子系 2016年8月実施 数学2

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• 东京科学大学
• 柯西–黎曼方程

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

以下の問に解答せよ。ただし、解答は導出過程も含めて記述すること。なお本問では、虚数単位を $j$ と表す（$j^2=-1$）。また $z$ は複素数とし、その実部・虚部をそれぞれ $x,y$ とする（$z=x+jy$、$x$ および $y$ は実数）。

1. 複素平面上で次の図形の概略を示し、どのような図形か説明を加えよ。

$$|z+1|-|z-1|=1$$

2. 次の複素関数 $f(z)$ が正則か否かを判定せよ。さらに、正則ならば導関数を求め、$x$ および $y$ を用いて表せ。

a)

$$f(z)=\frac{x+y}{x^2+y^2}+j\frac{x-y}{x^2+y^2}$$

b)

$$f(z)=(\cos x+j\sin x)\times\exp(-y)$$

题目描述

回答以下问题，答案须包含推导过程。本题将虚数单位记为 $j$（$j^2=-1$）。设复数 $z$ 的实部、虚部分别为 $x,y$，即 $z=x+jy$，$x,y$ 均为实数。

1. 在复平面上画出下列图形的概略图，并说明它是什么图形：

$$|z+1|-|z-1|=1.$$

2. 判断下列复函数 $f(z)$ 是否全纯。若全纯，进一步求其导函数，并用 $x,y$ 表示。

a)

$$f(z)=\frac{x+y}{x^2+y^2}+j\frac{x-y}{x^2+y^2}.$$

b)

$$f(z)=(\cos x+j\sin x)\times\exp(-y).$$

Kai

1)

$|z+1|$ と $|z-1|$ は、それぞれ焦点 $(-1,0)$、$(1,0)$ からの距離である。その差が $1$ なので、焦点距離 $c=1$、実半軸 $a=1/2$、虚半軸 $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt3/2$ の双曲線となる。差の符号から右枝のみを取る。

$$\boxed{4x^2-\frac43y^2=1,\quad x\ge\frac12}.$$

頂点は $(1/2,0)$、漸近線は $y=\pm\sqrt3x$ である。

2) a)

$z\ne0$ において

$$f(z)=\frac{(1+j)(x-jy)}{x^2+y^2}=\frac{1+j}{z}$$

なので、$\mathbb C\setminus\{0\}$ で正則である。原点では定義されない。

$$\boxed{ f'(z)=-\frac{1+j}{z^2} =\frac{-x^2+y^2-2xy}{(x^2+y^2)^2} +j\frac{-x^2+y^2+2xy}{(x^2+y^2)^2} }.$$

2) b)

$f(z)=e^{jz}$ であり、複素平面全体で正則である。

$$\boxed{f'(z)=je^{jz}=e^{-y}(-\sin x+j\cos x)}.$$