東京工業大学 工学院 電気電子系 2016年8月実施 数学1

标签：

• 东京科学大学
• 二阶线性常微分方程
• 待定系数法

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

式 (1.1)、式 (1.2) からなる、実数 $t$ の関数 $x,y$ を未知関数とする連立定係数常微分方程式を解くことを考える。

$$\frac{dx}{dt}=-3x+y+1 \tag{1.1}$$

$$\frac{dy}{dt}=-x-y+1 \tag{1.2}$$

以下の問に解答せよ。ただし、解答は導出過程も含めて記述すること。

1. 式 (1.1) を変形して、$dx/dt$ および $x$ を用いて $y$ を表せ。

2. 前問 1) の結果を式 (1.2) に代入して $y$ を消去し、$x$ のみの非斉次常微分方程式を導け。

3. 前問 2) で求めた非斉次常微分方程式を解き、$x$ の一般解を求めよ。

4. 前問 1)、および前問 3) の結果を利用して、$y$ の一般解を求めよ。

题目描述

考虑求解由式 (1.1)、(1.2) 构成的常系数常微分方程组，其中未知函数 $x,y$ 是实变量 $t$ 的函数：

$$\frac{dx}{dt}=-3x+y+1,\qquad \frac{dy}{dt}=-x-y+1.$$

回答以下问题，答案须包含推导过程。

1. 变形式 (1.1)，用 $dx/dt$ 和 $x$ 表示 $y$。

2. 将 1) 的结果代入式 (1.2) 消去 $y$，导出仅含 $x$ 的非齐次常微分方程。

3. 求解 2) 得到的非齐次常微分方程，求 $x$ 的通解。

4. 利用 1) 及 3) 的结果求 $y$ 的通解。

Kai

1)

第1式から

$$\boxed{y=x'+3x-1}.$$

2)

$y'=x''+3x'$ を第2式に代入すると

$$x''+3x'=-x-(x'+3x-1)+1, \qquad \boxed{x''+4x'+4x=2}.$$

3)

斉次方程式の特性方程式は $(\lambda+2)^2=0$、定数の特解は $x_p=1/2$ である。従って

$$\boxed{x(t)=\frac12+(C_1+C_2t)e^{-2t}}.$$

4)

1. に代入して

$$\boxed{y(t)=\frac12+\{C_1+C_2(t+1)\}e^{-2t}}, \qquad C_1,C_2\in\mathbb R.$$