東京工業大学 工学院 電気電子系 2017年度（2016年8月実施）数学1

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• 东京科学大学
• 二阶线性常微分方程
• 待定系数法

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

実数 $t$ の関数 $x,y$ を未知関数とする連立定係数常微分方程式

$$\begin{cases} \dfrac{dx}{dt}=-3x+y+1,\\ \dfrac{dy}{dt}=-x-y+1 \end{cases}$$

について、導出過程を含めて以下の問に答えよ。

1. 第1式を変形し、$dx/dt$ および $x$ を用いて $y$ を表せ。
2. 1. の結果を第2式に代入して $y$ を消去し、$x$ のみの非斉次常微分方程式を導け。
3. 2. の方程式を解き、$x$ の一般解を求めよ。
4. 1)、3) を利用して $y$ の一般解を求めよ。

题目描述

对上述以 $t$ 为自变量的常系数微分方程组，写出推导过程：1) 用 $x$ 与 $dx/dt$ 表示 $y$；2) 消去 $y$ 得到 $x$ 的非齐次方程；3) 求 $x$ 的通解；4) 求 $y$ 的通解。

Kai

1)

第1式から

$$\boxed{y=x'+3x-1}.$$

2)

$y'=x''+3x'$ を第2式に代入すると

$$x''+3x'=-x-(x'+3x-1)+1, \qquad \boxed{x''+4x'+4x=2}.$$

3)

斉次方程式の特性方程式は $(\lambda+2)^2=0$、定数の特解は $x_p=1/2$ である。従って

$$\boxed{x(t)=\frac12+(C_1+C_2t)e^{-2t}}.$$

4)

1. に代入して

$$\boxed{y(t)=\frac12+\{C_1+C_2(t+1)\}e^{-2t}}, \qquad C_1,C_2\in\mathbb R.$$