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東京工業大学 工学院 電気電子系 2016年8月実施 電磁気学2

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

図2.1は、無限に広い平らな表面をもつ透磁率 μ\mu の磁性体と、磁性体表面から距離 aa だけ離れて真空中にある無限に長い直線導線を表している。この導線に直流電流 II が流れている時、単位長さあたりに導線に働く力を以下の手順で求めたい。以下の問に答えよ。ただし、導線の抵抗および径は無視し、真空の透磁率は μ0\mu_0 とする。

磁性体に隣接する直線電流と影像電流（図2.1〜2.3）

  1. 2つの異なる材料が接する界面において、磁界と磁束密度に対する境界条件を、それぞれ答えのみ示せ。ただし、境界面には真電荷や電流はないものとする。

  2. 電磁気学の基本法則を用いて、1) で求めた2つの境界条件をそれぞれ導出せよ。

  3. 真空中の磁界は、全空間を真空としたときに電流 II によって生じる磁界と、境界面に対して II に対称な影像電流 I′I' によって生じる磁界の和に等しい。図2.2において、境界面上の点 P における磁界を求めよ。ただし、II と I′I' を用いて、境界面に対する磁界の xx 方向成分 H1xH_{1x} と yy 方向成分 H1yH_{1y} に分けて表すこと。

  4. 同様に、磁性体中の磁界は、全空間を磁性体としたときに、電流 II の位置に影像電流 I′′I'' が流れる場合に等しい。図2.3において、境界面上の点 P における磁界を求めよ。ただし、I′′I'' を用いて、境界面に対する磁界の xx 方向成分 H2xH_{2x} と yy 方向成分 H2yH_{2y} に分けて表すこと。

    1. の境界条件をもとに、I′I' と I′′I'' を、II を用いて表せ。

  6. 単位長さあたりに導線に働く力を表せ。

题目描述​

图2.1表示具有无限大平面的磁性体（磁导率为 μ\mu）以及真空中距离其表面 aa 的无限长直导线。导线中流有直流电流 II，希望按照以下步骤求导线单位长度所受的力。回答以下问题。忽略导线的电阻和直径，真空磁导率为 μ0\mu_0。

  1. 对两种不同材料接触的界面，分别写出磁场强度和磁通密度的边界条件，只需写答案。假设界面不存在自由电荷或电流。

  2. 利用电磁学基本定律，分别推导 1) 中的两个边界条件。

  3. 真空中的磁场等于将全空间视为真空时，由电流 II 产生的磁场与关于界面和 II 对称的镜像电流 I′I' 产生的磁场之和。求图2.2中界面上 P 点的磁场。用 I,I′I,I' 分别表示沿图示 xx、yy 方向的磁场分量 H1x,H1yH_{1x},H_{1y}。

  4. 类似地，磁性体内的磁场等于将全空间视为磁性体、并在原电流 II 所在位置通以镜像电流 I′′I'' 时的磁场。求图2.3中界面上 P 点的磁场。用 I′′I'' 分别表示沿图示 xx、yy 方向的磁场分量 H2x,H2yH_{2x},H_{2y}。

  5. 根据 1) 的边界条件，用 II 表示 I′,I′′I',I''。

  6. 表示导线单位长度所受的力。

Kai​

1)​

表面電流がないので磁界の接線成分は連続し、磁束密度の法線成分も連続する。

H1x=H2x,μ0H1y=μH2y.\boxed{H_{1x}=H_{2x},\qquad \mu_0H_{1y}=\mu H_{2y}}.

2)​

界面をまたぐ薄い長方形にアンペールの法則を適用し、その高さを 00 に近づけると

∮H⋅dl=0⟹(H1x−H2x)Δl=0.\oint\boldsymbol H\cdot d\boldsymbol l=0 \quad\Longrightarrow\quad (H_{1x}-H_{2x})\Delta l=0.

同様に薄い円柱に磁束保存則を適用すると

∮B⋅dS=0⟹(B1y−B2y)ΔS=0.\oint\boldsymbol B\cdot d\boldsymbol S=0 \quad\Longrightarrow\quad (B_{1y}-B_{2y})\Delta S=0.

3)​

I′I' の正方向を図の紙面奥向きとする。直線電流の磁界 H=I/(2πr)H=I/(2\pi r) を分解して

H1x=I′−I2πrcos⁡θ,H1y=−I+I′2πrsin⁡θ.\boxed{H_{1x}=\frac{I'-I}{2\pi r}\cos\theta, \qquad H_{1y}=-\frac{I+I'}{2\pi r}\sin\theta}.

4)​

同じ正方向を用いると

H2x=−I′′2πrcos⁡θ,H2y=−I′′2πrsin⁡θ.\boxed{H_{2x}=-\frac{I''}{2\pi r}\cos\theta, \qquad H_{2y}=-\frac{I''}{2\pi r}\sin\theta}.

5)​

境界条件は

I−I′=I′′,μ0(I+I′)=μI′′.I-I'=I'',\qquad \mu_0(I+I')=\mu I''.

これを解いて

I′=μ−μ0μ+μ0I,I′′=2μ0μ+μ0I.\boxed{I'=\frac{\mu-\mu_0}{\mu+\mu_0}I, \qquad I''=\frac{2\mu_0}{\mu+\mu_0}I}.

6)​

実電流の位置で影像電流が作る磁束密度は Bx=μ0I′/(4πa)B_x=\mu_0I'/(4\pi a)。実電流は −z-z 方向なので、単位長さ当たりの力は

f=−μ0I24πaμ−μ0μ+μ0 ey.\boxed{\boldsymbol f=-\frac{\mu_0I^2}{4\pi a} \frac{\mu-\mu_0}{\mu+\mu_0}\,\boldsymbol e_y}.

μ>μ0\mu>\mu_0 なら磁性体に引き寄せられ、μ<μ0\mu<\mu_0 なら反発し、μ=μ0\mu=\mu_0 なら力は 00 である。

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