東京工業大学 工学院 電気電子系 2016年8月実施 電磁気学1

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• 东京科学大学
• 高斯定律
• 电容与静电能
• RC 电路充放电

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図1.1の断面図に示すように、半径 $a$ と $b$ の半球形完全導体容器を中心が一致するように配置し、その間を誘電率 $\varepsilon$、導電率 $\sigma$ の媒質で満たす。外側導体容器を接地し、内側導体容器には $t=0$ で初期電荷 $q_0$ があるとする。$t>0$ で導体容器間に電流が流れ、内側導体容器の電荷量は減少する。時刻 $t$ における内側導体容器の電荷量を $q(t)$ とするとき、以下の問に答えよ。ただし、導体の厚さ、および端部効果は無視する。また、媒質内の電荷による電界の発生は無視する。

1. 時刻 $t$ において、内側導体容器の中心から距離 $r$ の位置における電界強度 $E(t)$ を、$q(t)$ を用いて表せ。ただし中心から外側に向かう向きを正とする。また、$a<r<b$ とする。

2. 時刻 $t$ における内側導体容器の電位 $V(t)$ を、$q(t)$ を用いて表せ。

3. 距離 $r$ の位置における電流密度を $j(t)$ とするとき、導体容器間を流れる全電流 $I(t)$ を、$j(t)$ を用いて表せ。ただし、$a<r<b$ とする。

4. 電荷保存則から、$q(t)$ に関する微分方程式をたてよ。

5. $I(t)$ を $\varepsilon,\sigma$ および $q_0$ を用いて表せ。

6. 図1.1の構造を、抵抗とコンデンサを用いた回路で示し、抵抗値 $R$ と容量 $C$ を用いて、$I(t)$ を表せ。

题目描述

如图1.1的剖面图，将半径为 $a,b$ 的半球形理想导体容器同心放置，间隙中充满介电常数为 $\varepsilon$、电导率为 $\sigma$ 的介质。外侧导体容器接地，内侧导体容器在 $t=0$ 时带有初始电荷 $q_0$。在 $t>0$ 时两导体容器间有电流流动，内侧容器的电荷量逐渐减少。设时刻 $t$ 内侧容器的电荷量为 $q(t)$，回答以下问题。忽略导体厚度和边缘效应，也忽略介质内电荷产生的电场。

1. 用 $q(t)$ 表示时刻 $t$ 距内侧容器中心 $r$ 处的电场强度 $E(t)$。规定从中心向外为正，且 $a<r<b$。

2. 用 $q(t)$ 表示时刻 $t$ 内侧导体容器的电势 $V(t)$。

3. 设距中心 $r$ 处的电流密度为 $j(t)$，用 $j(t)$ 表示导体容器间流过的总电流 $I(t)$，其中 $a<r<b$。

4. 根据电荷守恒定律建立关于 $q(t)$ 的微分方程。

5. 用 $\varepsilon,\sigma,q_0$ 表示 $I(t)$。

6. 用电阻和电容组成的电路表示图1.1的结构，并用电阻值 $R$ 和电容 $C$ 表示 $I(t)$。

Kai

1)

半球面の面積は $2\pi r^2$ なので、ガウスの法則より

$$2\pi r^2\varepsilon E(t)=q(t), \qquad \boxed{E(t)=\frac{q(t)}{2\pi\varepsilon r^2}}.$$

2)

外側導体の電位が $0$ であるから

$$\boxed{V(t)=\int_a^b E(t)\,dr =\frac{q(t)}{2\pi\varepsilon}\left(\frac1a-\frac1b\right)}.$$

3)

$$\boxed{I(t)=2\pi r^2j(t)}.$$

4)

局所的なオームの法則 $j=\sigma E$ より $I=(\sigma/\varepsilon)q$。電荷保存則 $q'=-I$ から

$$\boxed{\frac{dq}{dt}+\frac\sigma\varepsilon q=0,\quad q(0)=q_0}.$$

5)

$$q(t)=q_0e^{-\sigma t/\varepsilon}, \qquad \boxed{I(t)=\frac{\sigma q_0}{\varepsilon}e^{-\sigma t/\varepsilon}}.$$

6)

同じ二つの導体間に漏れ抵抗と容量があるので、等価回路は $R,C$ の並列接続である。初期電荷を持つ $C$ が $R$ を通して放電する。

$$R=\int_a^b\frac{dr}{2\pi\sigma r^2} =\frac{b-a}{2\pi\sigma ab}, \qquad C=\frac{q}{V}=\frac{2\pi\varepsilon ab}{b-a}, \qquad RC=\frac\varepsilon\sigma.$$

$$\boxed{I(t)=\frac{q_0}{RC}e^{-t/(RC)}}.$$