東京工業大学 工学院 電気電子系 2016年8月実施 電気回路1

标签：

• 东京科学大学
• 基尔霍夫定律
• RLC 电路阻尼
• 拉普拉斯变换

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

図1.1に示す RLC 回路で $t=0$ にスイッチ SW を閉じた。ここに $t=0$ におけるコンデンサ電圧 $v_c$、インダクタ電流 $i_L$ はともに $0$ とする。

1. 回路方程式をもとにコンデンサ電圧 $v_c(t)$ のラプラス変換を表す式を導け。

2. 1. で求めたコンデンサ電圧 $v_c(t)$ のラプラス変換について、その極が互いに共役な複素数となるために抵抗 $R$ が満たすべき条件を求めよ。
3. 2. で求めた極が共役複素数となる場合に対して、ラプラス逆変換によりコンデンサ電圧 $v_c(t)$ の時間変化を表す式を求めよ。
4. 3. で求めたコンデンサ電圧 $v_c(t)$ の時間変化の概形を図示せよ。また代表的な値を図中に示せ。

［逆ラプラス変換表］$\mathcal L^{-1}$ はラプラス逆変換を表す。$\mathrm u(t)$ は単位段関数。

$$\mathcal L^{-1}\!\left[\frac1s\right]=\mathrm u(t),\qquad \mathcal L^{-1}\!\left[\frac1{s+a}\right]=e^{-at}$$

$$\begin{aligned} \mathcal L^{-1}\!\left[\frac{\lambda s+\mu}{(s+a)^2+b^2}\right] &=\lambda e^{-at}\cos(bt)\\ &\quad+\frac1b(\mu-a\lambda)e^{-at}\sin(bt) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \mathcal L^{-1}\!\left[\frac{\lambda s+\mu}{(s+a)^2-b^2}\right] &=\lambda e^{-at}\cosh(bt)\\ &\quad+\frac1b(\mu-a\lambda)e^{-at}\sinh(bt) \end{aligned}$$

题目描述

图1.1所示的 RLC 电路在 $t=0$ 时闭合开关 SW。设 $t=0$ 时的电容电压 $v_c$ 和电感电流 $i_L$ 均为 $0$。

1. 根据电路方程，推导表示电容电压 $v_c(t)$ 的拉普拉斯变换的表达式。

2. 对 1) 求得的电容电压 $v_c(t)$ 的拉普拉斯变换，求其极点为互为共轭的复数时电阻 $R$ 应满足的条件。

3. 对于 2) 中极点为共轭复数的情形，利用拉普拉斯逆变换，求表示电容电压 $v_c(t)$ 随时间变化的表达式。

4. 画出 3) 中电容电压 $v_c(t)$ 随时间变化的概略图，并在图中标出代表性数值。

［拉普拉斯逆变换表］$\mathcal L^{-1}$ 表示拉普拉斯逆变换，$\mathrm u(t)$ 为单位阶跃函数。

$$\mathcal L^{-1}\!\left[\frac1s\right]=\mathrm u(t),\qquad \mathcal L^{-1}\!\left[\frac1{s+a}\right]=e^{-at}$$

$$\begin{aligned} \mathcal L^{-1}\!\left[\frac{\lambda s+\mu}{(s+a)^2+b^2}\right] &=\lambda e^{-at}\cos(bt)\\ &\quad+\frac1b(\mu-a\lambda)e^{-at}\sin(bt) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \mathcal L^{-1}\!\left[\frac{\lambda s+\mu}{(s+a)^2-b^2}\right] &=\lambda e^{-at}\cosh(bt)\\ &\quad+\frac1b(\mu-a\lambda)e^{-at}\sinh(bt) \end{aligned}$$

Kai

1)

キルヒホッフの法則から

$$E=R\left(i_L+C\frac{dv_c}{dt}\right)+v_c, \qquad v_c=L\frac{di_L}{dt}.$$

ゼロ初期条件を用いてラプラス変換すると

$$\frac Es=R\left(\frac{V_c(s)}{sL}+CsV_c(s)\right)+V_c(s).$$

従って

$$\boxed{V_c(s)=\frac{E}{RCs^2+s+R/L} =\frac{E/(RC)}{s^2+s/(RC)+1/(LC)}}.$$

2)

特性方程式の判別式が負となる条件は

$$\frac1{R^2C^2}-\frac4{LC}<0, \qquad \boxed{R>\frac12\sqrt{\frac LC}}.$$

ここでは $R,L,C>0$ とした。

3)

$$\alpha=\frac1{2RC},\qquad \omega_d=\sqrt{\frac1{LC}-\frac1{4R^2C^2}}>0$$

とおくと $V_c(s)=\{E/(RC)\}/\{(s+\alpha)^2+\omega_d^2\}$ なので

$$\boxed{v_c(t)=\frac{E}{RC\omega_d}e^{-\alpha t}\sin(\omega_dt),\quad t\ge0}.$$

4)

原点から傾き $E/(RC)$ で立ち上がり、$0$ に向かって減衰振動する。零点は $t=n\pi/\omega_d$、包絡線は $\pm E e^{-\alpha t}/(RC\omega_d)$ である。

図は $\alpha/\omega_d=1/4$ の場合の概形である。初期値 $v_c(0)=0$ と最終値 $v_c(\infty)=0$ を満たす。