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東京工業大学 物質理工学院 材料系 2024年8月実施 問題II-1（熱力学）

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祭音Myyura (Based on ソニア's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

次の文章を読み、下の問 (1)～(6) に答えよ。

ガソリンエンジンの理論サイクルはオットーサイクルと呼ばれ、図に示す4つの過程からなる気体の準静的なサイクルとして定義される。

状態 A～D における圧力 PP、体積 VV、温度 TT は、それぞれ図中の記号を用いて表すものとする。作動物質は nn モルの理想気体とし、気体定数を RR、気体の定積モル比熱を CVC_V、気体の定圧モル比熱を CPC_P、比熱比を γ=CP/CV\gamma=C_P/C_V とする。また、断熱過程においては PVγPV^\gamma および TVγ−1TV^{\gamma-1} は一定である。必要であれば 102/3=4.64,102/5=2.5110^{2/3}=4.64,10^{2/5}=2.51 としてよい。

オットーサイクル

  • 過程1：状態 A (PA,VA,TA)(P_A,V_A,T_A) から状態 B (PB,VB,TB)(P_B,V_B,T_B) への断熱圧縮。
  • 過程2：状態 B から状態 C (PC,VB,TC)(P_C,V_B,T_C) への定積加熱。
  • 過程3：状態 C から状態 D (PD,VA,TD)(P_D,V_A,T_D) への断熱膨張。
  • 過程4：状態 D から状態 A への定積冷却。

(1) 過程1の状態変化において、気体が外部になす仕事 WABW_{AB} を PA,PB,VA,VB,γP_A,P_B,V_A,V_B,\gamma を用いて表せ。

(2) 過程1の状態変化において、気体の内部エネルギー変化 ΔUAB\Delta U_{AB} を TA,TB,CV,nT_A,T_B,C_V,n を用いて表せ。

(3) 過程2の状態変化において、気体が吸収した熱量 QBCQ_{BC} を TB,TC,CV,nT_B,T_C,C_V,n を用いて表せ。

(4) オットーサイクル（過程1～4）の熱効率 η\eta を TA,TB,TC,TDT_A,T_B,T_C,T_D を用いて表せ。

(5) 問 (4) で求めた熱効率 η\eta を VA,VB,γV_A,V_B,\gamma を用いて表せ。

(6) この問題における理想気体を二原子分子とし、VB/VA=1/10V_B/V_A=1/10 として熱効率 η\eta の値を求めよ。なお、気体の分子振動の影響は無視できるものとする。

题目描述​

阅读说明，回答 (1)～(6)。

汽油发动机的理论循环称为奥托循环，定义为图中由四个过程构成的气体准静态循环。状态 A～D 的压强 PP、体积 VV、温度 TT 用图示符号表示。工质为 nn 摩尔理想气体，气体常数为 RR，摩尔定容热容为 CVC_V，摩尔定压热容为 CPC_P，热容比为 γ=CP/CV\gamma=C_P/C_V。绝热过程中 PVγPV^\gamma 与 TVγ−1TV^{\gamma-1} 均为常数。必要时使用 102/3=4.64,102/5=2.5110^{2/3}=4.64,10^{2/5}=2.51。

  • 过程1：从状态 A (PA,VA,TA)(P_A,V_A,T_A) 绝热压缩到状态 B (PB,VB,TB)(P_B,V_B,T_B)。
  • 过程2：从状态 B 定容加热到状态 C (PC,VB,TC)(P_C,V_B,T_C)。
  • 过程3：从状态 C 绝热膨胀到状态 D (PD,VA,TD)(P_D,V_A,T_D)。
  • 过程4：从状态 D 定容冷却回状态 A。

(1) 用 PA,PB,VA,VB,γP_A,P_B,V_A,V_B,\gamma 表示过程1中气体对外做的功 WABW_{AB}。

(2) 用 TA,TB,CV,nT_A,T_B,C_V,n 表示过程1中的气体内能变化 ΔUAB\Delta U_{AB}。

(3) 用 TB,TC,CV,nT_B,T_C,C_V,n 表示过程2中气体吸收的热量 QBCQ_{BC}。

(4) 用 TA,TB,TC,TDT_A,T_B,T_C,T_D 表示奥托循环（过程1～4）的热效率 η\eta。

(5) 将 (4) 中的热效率 η\eta 改写为用 VA,VB,γV_A,V_B,\gamma 表示的形式。

(6) 假定本题的理想气体为双原子气体，忽略分子振动的影响，在 VB/VA=1/10V_B/V_A=1/10 时计算热效率 η\eta。

Kai​

(1)​

断熱過程では P=PAVAγV−γP=P_AV_A^\gamma V^{-\gamma}，したがって

WAB=∫VAVBP dV=PAVAγ1−γ(VB1−γ−VA1−γ)=PAVA−PBVBγ−1.\begin{aligned} W_{AB} &=\int_{V_A}^{V_B}P\,dV\\ &=\frac{P_AV_A^\gamma}{1-\gamma} \left(V_B^{1-\gamma}-V_A^{1-\gamma}\right)\\ &=\boxed{\frac{P_AV_A-P_BV_B}{\gamma-1}}. \end{aligned}

圧縮なので WAB<0W_{AB}<0 となる。

(2)​

理想気体の内部エネルギーは温度だけに依存するので

ΔUAB=nCV(TB−TA).\boxed{\Delta U_{AB}=nC_V(T_B-T_A)}.

断熱であるため、ΔUAB=−WAB>0\Delta U_{AB}=-W_{AB}>0 とも一致する。

(3)​

定積では仕事が0なので

QBC=ΔUBC=nCV(TC−TB).\boxed{Q_{BC}=\Delta U_{BC}=nC_V(T_C-T_B)}.

(4)​

1周期の内部エネルギー変化は0。吸熱量は Qin=nCV(TC−TB)Q_{\rm in}=nC_V(T_C-T_B)、放熱量の大きさは Qout=nCV(TD−TA)Q_{\rm out}=nC_V(T_D-T_A) である。よって

η=1−TD−TATC−TB.\boxed{\eta=1-\frac{T_D-T_A}{T_C-T_B}}.

(5)​

二つの断熱過程より

TA=TB(VBVA)γ−1,TD=TC(VBVA)γ−1.\begin{aligned} T_A&=T_B\left(\frac{V_B}{V_A}\right)^{\gamma-1},\\ T_D&=T_C\left(\frac{V_B}{V_A}\right)^{\gamma-1}. \end{aligned}

これらを (4) に代入して

η=1−(VBVA)γ−1.\boxed{\eta=1-\left(\frac{V_B}{V_A}\right)^{\gamma-1}}.

(6)​

並進3自由度、回転2自由度から CV=5R/2C_V=5R/2。CP=CV+R=7R/2C_P=C_V+R=7R/2 より γ=7/5\gamma=7/5 である。したがって

η=1−10−2/5≃1−12.51≃0.60.\boxed{\eta=1-10^{-2/5}\simeq1-\frac1{2.51}\simeq0.60}.

Reference​

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