跳到主要内容

東京工業大学 物質理工学院 材料系 2025年度（2024年8月実施） 問題II-1（熱力学）

标签：

Author​

祭音Myyura (Based on ソニア's answer refined with GPT 6 Astra)

Description​

オットーサイクルは、図に示す準静的な四つの過程からなる。作動物質は nn mol の理想気体で、気体定数を RR、定積・定圧モル熱容量を CV,CPC_V,C_P、比熱比を γ=CP/CV\gamma=C_P/C_V とする。断熱過程では PVγPV^\gamma、TVγ−1TV^{\gamma-1} が一定である。

  • 過程1：A (PA,VA,TA)(P_A,V_A,T_A) から B (PB,VB,TB)(P_B,V_B,T_B) への断熱圧縮。
  • 過程2：B から C (PC,VB,TC)(P_C,V_B,T_C) への定積加熱。
  • 過程3：C から D (PD,VA,TD)(P_D,V_A,T_D) への断熱膨張。
  • 過程4：D から A への定積冷却。

オットーサイクル

(1) 過程1で気体が外部になす仕事 WABW_{AB} を PA,PB,VA,VB,γP_A,P_B,V_A,V_B,\gamma で表せ。

(2) 過程1の内部エネルギー変化 ΔUAB\Delta U_{AB} を TA,TB,CV,nT_A,T_B,C_V,n で表せ。

(3) 過程2で吸収する熱 QBCQ_{BC} を TB,TC,CV,nT_B,T_C,C_V,n で表せ。

(4) サイクルの熱効率 η\eta を TA,TB,TC,TDT_A,T_B,T_C,T_D で表せ。

(5) η\eta を VA,VB,γV_A,V_B,\gamma で表せ。

(6) 気体を二原子分子とし、振動の寄与を無視する。VB/VA=1/10V_B/V_A=1/10 のときの効率を求めよ。必要なら 102/3=4.64,102/5=2.5110^{2/3}=4.64,10^{2/5}=2.51 を用いよ。

题目描述​

理想气体经历准静态奥托循环：A→B绝热压缩，B→C定容加热，C→D绝热膨胀，D→A定容冷却；两种体积为 VA,VBV_A,V_B。已知 PVγPV^\gamma 和 TVγ−1TV^{\gamma-1} 在绝热过程中不变。依次求：(1) A→B中气体对外做功；(2) 该过程内能变化；(3) B→C吸热量；(4) 用四个温度表示循环效率；(5) 改用体积比和比热比表示；(6) 对忽略振动的双原子气体，计算压缩比 VA/VB=10V_A/V_B=10 时的效率。

Kai​

(1)​

断熱過程では P=PAVAγV−γP=P_AV_A^\gamma V^{-\gamma}，したがって

WAB=∫VAVBP dV=PAVAγ1−γ(VB1−γ−VA1−γ)=PAVA−PBVBγ−1.\begin{aligned} W_{AB} &=\int_{V_A}^{V_B}P\,dV =\frac{P_AV_A^\gamma}{1-\gamma} \left(V_B^{1-\gamma}-V_A^{1-\gamma}\right)\\ &=\boxed{\frac{P_AV_A-P_BV_B}{\gamma-1}}. \end{aligned}

圧縮なので WAB<0W_{AB}<0 となる。

(2)​

理想気体の内部エネルギーは温度だけに依存するので

ΔUAB=nCV(TB−TA).\boxed{\Delta U_{AB}=nC_V(T_B-T_A)}.

断熱であるため、ΔUAB=−WAB>0\Delta U_{AB}=-W_{AB}>0 とも一致する。

(3)​

定積では仕事が0なので

QBC=ΔUBC=nCV(TC−TB).\boxed{Q_{BC}=\Delta U_{BC}=nC_V(T_C-T_B)}.

(4)​

1周期の内部エネルギー変化は0。吸熱量は Qin=nCV(TC−TB)Q_{\rm in}=nC_V(T_C-T_B)、放熱量の大きさは Qout=nCV(TD−TA)Q_{\rm out}=nC_V(T_D-T_A) である。よって

η=1−TD−TATC−TB.\boxed{\eta=1-\frac{T_D-T_A}{T_C-T_B}}.

(5)​

二つの断熱過程より

TA=TB(VBVA)γ−1,TD=TC(VBVA)γ−1.T_A=T_B\left(\frac{V_B}{V_A}\right)^{\gamma-1},\qquad T_D=T_C\left(\frac{V_B}{V_A}\right)^{\gamma-1}.

これらを (4) に代入して

η=1−(VBVA)γ−1.\boxed{\eta=1-\left(\frac{V_B}{V_A}\right)^{\gamma-1}}.

(6)​

並進3自由度、回転2自由度から CV=5R/2C_V=5R/2。CP=CV+R=7R/2C_P=C_V+R=7R/2 より γ=7/5\gamma=7/5 である。したがって

η=1−10−2/5≃1−12.51≃0.60.\boxed{\eta=1-10^{-2/5}\simeq1-\frac1{2.51}\simeq0.60}.

Reference​

本页目录