東京工業大学物質理工学院材料系 2021年8月実施第Iブロック [I-1] 数学

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Miyake, 祭音Myyura

各問は導出過程を含めて解答する。

$x>0$ で定義された $y(x)$ について、 $x\,dy/dx=(x-1)y$ の一般解と、 $y(1)=1$ を満たす解を求める。
$a>0$ として、領域 $x^2+y^2/4\le a^2$ 上の積分
$I=\iint\sqrt{9a^2-x^2-y^2/4}\,dx\,dy$
を計算する。
正則行列
$A=\begin{pmatrix}a&-2\\-2&3\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&b\\b&-2\end{pmatrix}$
について、① $\det(AB)$ 、② $A$ の固有値が $-1,4$ かつ $AB=BA$ の場合の $a,b$ 、③ $B$ の固有ベクトルが $(2,4)^{\mathsf T},(2,-1)^{\mathsf T}$ の場合の $B^n$ （正整数 $n$ ）を求める。

设 $x>0$ ，函数 $y(x)$ 满足可分离变量方程，其分离形式为

$\frac{\mathrm dy}{y} =\frac{x-1}{x}\,\mathrm dx,$

即可等价写成

$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} =\frac{x-1}{x}y.$

求通解，并用初值 $y(1)=1$ 求特解。此时积分常数为 $C=1/e$ ，特解为

$y=\frac{e^{x-1}}x.$
计算二重积分

$I= \iint_{x^2+y^2/4\leq a^2} \sqrt{9a^2-x^2-\frac{y^2}{4}}\, \mathrm dx\,\mathrm dy,$

其中 $a>0$ 。可先令 $Y=y/2$ ，再在 $xY$ 平面使用极坐标。
给定非奇异矩阵

$A= \begin{pmatrix} a&-2\\ -2&3 \end{pmatrix}, \qquad B= \begin{pmatrix} 1&b\\ b&-2 \end{pmatrix}.$

回答以下三小问：
1. 用 $a,b$ 表示 $\det(AB)$ 。
2. 已知 $A$ 的特征值为 $-1,4$ ，且 $AB=BA$ ，求 $a,b$ 。
3. 已知
  
  $\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$
  
  是 $B$ 的特征向量，求 $b$ ，并对正整数 $n$ 求 $B^n$ 。

与えられた微分方程式は変数分離型であり、次のように一般解を求められる：

\begin{aligned} \frac{dy}{y} &= \frac{x-1}{x} dx \\ &= \left( 1 - \frac{1}{x} \right) dx \\ \log |y| &= x - \log |x| + C_0 \\ \therefore \ \ y &= \frac{C e^x}{x}\qquad(x\ne0) \end{aligned}

ここで、 $C_0, C$ は積分定数である。

零解も含め $C$ は任意定数である。また、 $y(1)=1$ より $Ce=1$ 、すなわち $C=1/e$ となるので、

\begin{aligned} y &= \frac{e^{x-1}}{x} \end{aligned}

を得る。

$Y=y/2$ とすると、 $dxdy = 2dxdY$ であり、与えられた積分範囲は $xY$ 平面上の原点を中心とする半径 $a$ の円である。

さらに、 $x,Y$ に対して極座標 $r, \theta$ を導入する：

\begin{aligned} x = r \cos \theta, \ \ Y = \frac{y}{2} = r \sin \theta \end{aligned}

$dxdY = r dr d \theta$ である。以上の準備の下で、次のように計算できる：

\begin{aligned} I &= 4 \pi \int_0^a \sqrt{9a^2 - r^2} r dr \\ &= - \frac{4 \pi}{3} \left[ \left( 9a^2 - r^2 \right)^{3/2} \right]_0^a \\ &= \frac{4}{3} \left( 27-16 \sqrt{2} \right) \pi a^3 \end{aligned}

\begin{aligned} \left| AB \right| &= \left| A \right| \left| B \right| \\ &= (3a-4)(-2-b^2) \\ &= -(3a-4)(b^2+2) \end{aligned}

まず、固有値が $-1$ と $4$ ということはトレースが $3$ なので、 $a=0$ がわかる。このとき、

\begin{aligned} AB = \begin{pmatrix} -2b & 4 \\ -2+3b & -2b-6 \end{pmatrix} , \ \ BA = \begin{pmatrix} -2b & -2+3b \\ 4 & -2b-6 \end{pmatrix} \end{aligned}

なので、 $AB=BA$ となるのは $b=2$ のときである。

与えられた2つのベクトルが $B$ の固有ベクトルになるのは、 $b=-2$ のときである：

\begin{aligned} B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} \end{aligned}

与えられた2つの固有ベクトルを使って、

\begin{aligned} P = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}

とおくと、

\begin{aligned} P^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} , \ \ PBP = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \end{aligned}

なので、次のように計算できる：

\begin{aligned} B^n &= P \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}^n P \\ &= P \begin{pmatrix} (-3)^n & 0 \\ 0 & 2^n \end{pmatrix} P \\ &= \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 2^{n+2} + (-3)^n & -2^{n+1} + 2 \cdot (-3)^n \\ -2^{n+1} + 2 \cdot (-3)^n & 2^n + 4 \cdot (-3)^n \end{pmatrix} \end{aligned}