東京工業大学物質理工学院応用化学系 2024年8月実施問題I-3（物理化学）

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祭音Myyura (Based on ソニア's answer refined with GPT 6 Astra)

Description

以下の設問 (1)、(2) に答えよ。

(1)

気体分子の速さ（速度ベクトルの大きさ）に関する以下の文章を読み、問①～③に答えよ。

気体分子の速さに関するマクスウェル–ボルツマン分布は、気体分子の速さがどのような分布をもつかを表す。この分布は、完全気体の分子が完全にランダムな運動をしているという仮定のもとで導かれる。この分布を使うことで分子の【ア】や分布のピーク位置から【イ】を与える。この分布は【イ】でピークをもつ山形の曲線となる。これに対し、分子の【ウ】は、分子の運動エネルギーをよく反映した値として用いられる。また、一般に エ：【ウ】は【ア】よりも大きい値をとる。

① 文章中の【ア】～【ウ】にあてはまる適切な語句を以下の語群の中から選べ。ただし、同じ語句を複数回選ばないこと。

語群： 根平均二乗速さ $v_{\rm rms}$ 、平均速さ $v_{\rm mean}$ 、最確速さ $v_{\rm mp}$ 、最高速さ $v_{\max}$ 、最低速さ $v_{\min}$ 。

② 文章中のエとなる理由を下記の語群内にある3つの語句をすべて用いて、2行程度で簡潔に説明せよ。ただし、同じ語句を繰り返し用いてもよい。

語群： 速さの二乗、算術平均、高速な分子。

③ マクスウェル–ボルツマンの速さの分布は以下の式によって与えられ、 $f(v)$ は速さ $v$ である分子の確率密度関数である。ここで用いられる $m$ は分子の質量、 $\pi$ は円周率、 $k_{\rm B}$ はボルツマン定数、 $T$ は絶対温度である。

f(v)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_{\rm B}T}\right)^{3/2}v^2\exp\left(-\frac{mv^2}{2k_{\rm B}T}\right),\qquad v\ge0.

この式における平均速さ $v_{\rm mean}$ について、 $m,k_{\rm B},\pi,T$ を用いて示せ。必要であれば、以下に示す積分公式を利用すること。

\int_0^\infty xe^{-ax^2}\,dx=\frac1{2a},\qquad \int_0^\infty x^2e^{-ax^2}\,dx=\frac14\left(\frac\pi{a^3}\right)^{1/2},\qquad \int_0^\infty x^3e^{-ax^2}\,dx=\frac1{2a^2}\quad(a>0).

(2)

化学平衡に関する以下の問①～④に答えよ。

固体である化合物 AB(s) は、ある絶対温度 $T\ [\mathrm K]$ において気体 A(g) と気体 B(g) に解離し、式 (i) に示す化学平衡に達する。

\mathrm{AB(s)\rightleftharpoons A(g)+B(g)}.\tag{i}

気体 A と気体 B は完全気体とし、気体定数 $R$ は $8.3\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}$ とする。標準圧力 $p^\circ$ は $100\ \mathrm{kPa}$ とする。 $700\ \mathrm K$ から $730\ \mathrm K$ の温度域で、標準反応エンタルピー $\Delta_rH^\circ$ および標準反応エントロピー $\Delta_rS^\circ$ は温度に依存しないものとし、 $\Delta_rH^\circ=1.6\times10^2\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}$ とする。必要であれば、 $\ln2=0.69,\ln3=1.1$ を使用せよ。

① $700\ \mathrm K$ において、解離蒸気圧は $600\ \mathrm{kPa}$ である。 $700\ \mathrm K$ における平衡定数 $K$ を有効数字2桁で求めよ。導出過程も記せ。

② $730\ \mathrm K$ において、平衡定数 $K$ は32である。以下の問 (a)、(b) に答えよ。

(a) $730\ \mathrm K$ における標準反応ギブズエネルギー $\Delta_rG^\circ$ を有効数字2桁で求めよ。

(b) $730\ \mathrm K$ における標準反応エントロピー $\Delta_rS^\circ$ を有効数字2桁で求めよ。

③ 上記 (i) の反応では、昇温により平衡定数 $K$ が増加する。その理由を2行程度で説明せよ。

④ 次の文章中の【オ】～【ケ】にあてはまる適切な語句を答えよ。語句は以下の語群の中から選ぶこと。ただし、同じ語句を繰り返し用いてもよい。

平衡定数 $K$ の温度依存性を表すファントホッフの式を積分することからわかるように、【オ】を横軸にとり【カ】をプロットすると、勾配が【キ】の直線が得られる。得られた直線が右下がりとなる場合、この反応は標準反応エンタルピー $\Delta_rH^\circ$ が【ク】の値となり、【ケ】反応であることを示す。

語群： 正、負、発熱、吸熱、 $p,1/p,T,1/T,K,\ln K,\Delta_rH^\circ/R,-\Delta_rH^\circ/R$ 。

题目描述

回答以下 (1)、(2) 两部分。

(1) 阅读气体分子速率（速度矢量的大小）的说明，回答①～③。

麦克斯韦–玻尔兹曼速率分布描述气体分子速率的分布情况，以理想气体分子完全随机运动为前提推导。利用此分布可求出分子的【ア】，并从分布的峰值位置得到【イ】。分布为在【イ】处达到峰值的单峰曲线。分子的【ウ】则用作较好反映分子动能的代表值。一般而言，エ：【ウ】大于【ア】。

① 从下列词语中选择适当词语填入【ア】～【ウ】，各词语不得重复使用。

词语： 方均根速率 $v_{\rm rms}$ 、平均速率 $v_{\rm mean}$ 、最概然速率 $v_{\rm mp}$ 、最高速率 $v_{\max}$ 、最低速率 $v_{\min}$ 。

② 用约2行简洁说明エ成立的原因，须使用“速率的平方”“算术平均”“高速分子”三个词语，词语可以重复使用。

③ 麦克斯韦–玻尔兹曼速率分布为

f(v)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_{\rm B}T}\right)^{3/2}v^2\exp\left(-\frac{mv^2}{2k_{\rm B}T}\right),\qquad v\ge0.

$f(v)$ 是分子速率为 $v$ 的概率密度函数； $m$ 为分子质量， $\pi$ 为圆周率， $k_{\rm B}$ 为玻尔兹曼常数， $T$ 为绝对温度。由此用 $m,k_{\rm B},\pi,T$ 表示平均速率 $v_{\rm mean}$ 。必要时可使用下列积分公式：

\int_0^\infty xe^{-ax^2}\,dx=\frac1{2a},\qquad \int_0^\infty x^2e^{-ax^2}\,dx=\frac14\left(\frac\pi{a^3}\right)^{1/2},\qquad \int_0^\infty x^3e^{-ax^2}\,dx=\frac1{2a^2}\quad(a>0).

(2) 回答关于化学平衡的①～④。

固体化合物 AB(s) 在绝对温度 $T\ [\mathrm K]$ 时解离成气体 A(g)、B(g)，并达到平衡：

\mathrm{AB(s)\rightleftharpoons A(g)+B(g)}.\tag{i}

A、B 均视为理想气体，取 $R=8.3\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}$ ，标准压强 $p^\circ=100\ \mathrm{kPa}$ 。在 $700$ ～ $730\ \mathrm K$ 内，标准反应焓 $\Delta_rH^\circ$ 和标准反应熵 $\Delta_rS^\circ$ 不随温度变化，且 $\Delta_rH^\circ=1.6\times10^2\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}$ 。必要时取 $\ln2=0.69,\ln3=1.1$ 。

① $700\ \mathrm K$ 时的解离蒸气压为 $600\ \mathrm{kPa}$ 。求该温度下的平衡常数 $K$ ，保留两位有效数字并写出推导过程。

② $730\ \mathrm K$ 时 $K=32$ 。(a) 求该温度下的标准反应吉布斯能 $\Delta_rG^\circ$ ；(b) 求该温度下的标准反应熵 $\Delta_rS^\circ$ 。两问均保留两位有效数字。

③ 对反应 (i)，升温会使平衡常数 $K$ 增大。用约2行说明原因。

④ 从词语中选择适当词语填入【オ】～【ケ】，同一词语可以重复使用。

对描述平衡常数 $K$ 温度依赖性的范特霍夫方程积分可知，以【オ】为横轴、【カ】为纵轴作图，可得斜率为【キ】的直线。若直线向右下方倾斜，则标准反应焓 $\Delta_rH^\circ$ 为【ク】值，该反应为【ケ】反应。

词语： 正、负、放热、吸热、 $p,1/p,T,1/T,K,\ln K,\Delta_rH^\circ/R,-\Delta_rH^\circ/R$ 。

Kai

(1)①

\boxed{\begin{aligned} &\text{ア：平均速さ、}\\ &\text{イ：最確速さ、}\\ &\text{ウ：根平均二乗速さ} \end{aligned}}.

(1)②

高速な分子は「速さの二乗」の算術平均に大きく寄与する。また速さにばらつきがあるので、 $\langle v^2\rangle-\langle v\rangle^2>0$ であり、その平方根をとると $v_{\rm rms}>v_{\rm mean}$ となる。

(1)③

$a=m/(2k_{\rm B}T)$ とおけば

\begin{aligned} v_{\rm mean} &=\int_0^\infty vf(v)\,dv\\ &=4\pi\left(\frac{m}{2\pi k_{\rm B}T}\right)^{3/2} \frac12\left(\frac{2k_{\rm B}T}{m}\right)^2\\ &=\boxed{\sqrt{\frac{8k_{\rm B}T}{\pi m}}}. \end{aligned}

(2)①

純固体の活量は1で、A と B は等モル発生するため $p_A=p_B=300\ \mathrm{kPa}$ 。よって

\boxed{K=\frac{p_Ap_B}{(p^\circ)^2} =\left(\frac{300}{100}\right)^2=9.0}.

(2)②

(a) $\ln32=5\ln2$ より

\begin{aligned} \Delta_rG^\circ&=-RT\ln K\\ &=-8.3\times730\times5\times0.69\\ &\simeq\boxed{-2.1\times10^1\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}}. \end{aligned}

(b) $\Delta_rG^\circ=\Delta_rH^\circ-T\Delta_rS^\circ$ より

\begin{aligned} \Delta_rS^\circ &=\frac{1.6\times10^5-(-2.090355\times10^4)}{730}\\ &\simeq\boxed{2.5\times10^2\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}}. \end{aligned}

(2)③

$\Delta_rH^\circ>0$ の吸熱反応なので、昇温により解離方向が有利になる。式で表すと $d\ln K/dT=\Delta_rH^\circ/(RT^2)>0$ である。

(2)④

\ln K=-\frac{\Delta_rH^\circ}{R}\frac1T+\frac{\Delta_rS^\circ}{R}.

したがって

\boxed{\begin{aligned} \text{オ：}&1/T,\\ \text{カ：}&\ln K,\\ \text{キ：}&-\Delta_rH^\circ/R,\\ &\text{ク：正、ケ：吸熱} \end{aligned}}.

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Description​

(1)​

(2)​

题目描述​

Kai​

(1)①​

(1)②​

(1)③​

(2)①​

(2)②​

(2)③​

(2)④​

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