東京工業大学情報理工学院数理・計算科学系 2023年8月実施午前問B

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思齐塾, 祭音Myyura

次で定義される $\mathbb{R}^2$ 内の部分集合を考える．

D = \{(x, y) \mid 0 < x + y \le 1, \ 0 \le x - y \le 1, \ y \le 0\}

以下の問いに答えよ．

(1) $D$ を $(x, y)$ -平面に図示し，さらに変数変換 $u = x + y, v = x - y$ によって $D$ が写る先を $(u, v)$ -平面に図示せよ．

(2) 広義積分 $\iint_D (x + y)^a dx dy$ が収束するような実数 $a$ の範囲とその時の積分の値を求めよ．

考虑 $\mathbb R^2$ 中的区域

D=\{(x,y)\mid 0<x+y\leq1,\quad 0\leq x-y\leq1,\quad y\leq0\}.

u=x+y,\qquad v=x-y,

并在 $(u,v)$ 平面中画出 $D$ 的像。 2. 对实参数 $a$ ，求使反常二重积分

\iint_D(x+y)^a\,dx\,dy

收敛的全部 $a$ ，并在收敛时计算积分值。

変数変換 $u=x+y$ , $v=x-y$ の逆変換は

x=\frac{u+v}{2}, \qquad y=\frac{u-v}{2}

である。 $y\le0$ は $u\le v$ と同値なので、 $(u,v)$ 平面での像は

\boxed{D_{uv}=\{(u,v)\mid0<u\le v\le1\}}.

その閉包は頂点 $(0,0),(0,1),(1,1)$ の三角形である。辺 $u=0$ は除外され、辺 $u=v$ と $v=1$ は $u>0$ の範囲で含まれる。

逆変換により3頂点は

(0,0),\quad \left(\frac12,-\frac12\right),\quad (1,0)

へ移る。従って $(x,y)$ 平面では、この3点を頂点とする三角形のうち辺 $x+y=0$ は除外され、辺 $y=0$ と $x-y=1$ は $x+y>0$ の部分で含まれる。すなわち

\overline D=\operatorname{conv}\left\{(0,0),\left(\frac12,-\frac12\right),(1,0)\right\},

ただし $(0,0)$ から $(1/2,-1/2)$ までの辺全体は $D$ に含まれない。境界の包含関係を下図に示す。

領域 D と変数変換後の領域

ヤコビアンは

\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| =\left|\begin{vmatrix}1/2&1/2\\1/2&-1/2\end{vmatrix}\right|=\frac12.

従って、収束する場合には

\begin{aligned} \iint_D(x+y)^a\,dx\,dy &=\frac12\int_0^1\int_u^1u^a\,dv\,du\\ &=\frac12\int_0^1u^a(1-u)\,du. \end{aligned}

$u=0$ 近くでは $u^a$ と同程度なので、収束の必要十分条件は $a>-1$ である。このとき

\frac12\left(\frac1{a+1}-\frac1{a+2}\right) =\boxed{\frac1{2(a+1)(a+2)}}.

従って $\boxed{a>-1\text{ のとき収束し、値は }1/[2(a+1)(a+2)]}$ である。 $a\le-1$ では正の被積分関数の $u=0$ 近傍の積分が発散する。