東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2021年8月実施 午前 問B

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• 东京科学大学
• 多元函数微分
• 微分

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

$A(x)$ と $B(y)$ を $\mathbb{R}$ 上の $C^2$ 級の実数値関数とし， $C(x, y)$ を $\mathbb{R}^2$ 上の $C^2$ 級の実数値関数とするとき以下の問いに答えよ．

(1) 関数 $f(x, y)$ を

$$f(x, y) = A(x) + xB(y)$$

と定めると， $f$ は $A$ と $B$ を含まない関係式 $xf_{xy} = f_y$ を満たすことを示せ．但し $f_y = \partial f/\partial y$ ， $f_{xy} = \partial^2 f/\partial x\partial y$ 等とする．

(2) 関数 $g(x, y)$ を

$$g(x, y) = A(x)B(y)$$

と定めるとき，積 $g_{xy}g$ を $g_x$ と $g_y$ を用いた $A$ と $B$ を含まない式で表わせ．

(3) 関数 $h(x, y) = C(x + y, x - y)$ に対して， $h_{xx}(x, y) - h_{yy}(x, y)$ を計算せよ．

(4) 関数 $k(x, y)$ を

$$k(x, y) = A(x + y)B(x - y)$$

と定めるとき，積 $(k_{xx} - k_{yy})k$ を $k_x$ と $k_y$ を用いた $A$ と $B$ を含まない式で表わせ．

题目描述

设 $A(x)$、$B(y)$ 是 $\mathbb R$ 上的 $C^2$ 实值函数，$C(x,y)$ 是 $\mathbb R^2$ 上的 $C^2$ 实值函数。记 $f_y=\partial f/\partial y$、$f_{xy}=\partial^2f/(\partial x\,\partial y)$，其余偏导数采用同样记法。

1. 定义

$$f(x,y)=A(x)+xB(y).$$

证明 $f$ 满足不含 $A,B$ 的关系式

$$xf_{xy}=f_y.$$

2. 对

$$g(x,y)=A(x)B(y),$$

用 $g_x,g_y$ 表示乘积 $g_{xy}g$，所得式中不得出现 $A,B$。 3. 对

$$h(x,y)=C(x+y,x-y),$$

计算 $h_{xx}(x,y)-h_{yy}(x,y)$。 4. 对

$$k(x,y)=A(x+y)B(x-y),$$

用 $k_x,k_y$ 表示 $(k_{xx}-k_{yy})k$，所得式中不得出现 $A,B$。

Kai

(1)

$$f_y=xB'(y),\qquad f_{xy}=B'(y).$$

したがって

$$\boxed{xf_{xy}=xB'(y)=f_y}.$$

この関係式には $A,B$ が現れない。

(2)

$$g_x=A'(x)B(y),\qquad g_y=A(x)B'(y),\qquad g_{xy}=A'(x)B'(y).$$

よって

$$\boxed{g_{xy}g=A'(x)B'(y)A(x)B(y)=g_xg_y}.$$

(3)

$\xi=x+y$ , $\eta=x-y$ とおき， $C$ の偏導関数を $C_{\xi},C_{\eta}$ などと書く。連鎖律から

$$h_{xx}=C_{\xi\xi}+2C_{\xi\eta}+C_{\eta\eta}, \qquad h_{yy}=C_{\xi\xi}-2C_{\xi\eta}+C_{\eta\eta}.$$

したがって

$$\boxed{h_{xx}(x,y)-h_{yy}(x,y)=4C_{\xi\eta}(x+y,x-y)}.$$

(4)

$u=x+y$ , $v=x-y$ と書くと

$$k_x=A'(u)B(v)+A(u)B'(v),\qquad k_y=A'(u)B(v)-A(u)B'(v).$$

また (3) と同じ連鎖律により

$$k_{xx}-k_{yy}=4A'(u)B'(v).$$

従って

$$(k_{xx}-k_{yy})k=4A'(u)B'(v)A(u)B(v).$$

一方，平方差を取ると

$$k_x^2-k_y^2 =4\{A'(u)B(v)\}\{A(u)B'(v)\}.$$

両者は等しいから，求める関係式は

$$\boxed{(k_{xx}-k_{yy})k=k_x^2-k_y^2}.$$