東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2021年8月実施 午前 問5

标签：

• 东京科学大学
• 随机变量的独立性
• 分布函数与概率密度

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

$\mathbb{R}$ を実数の集合， $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ を $\mathbb{R}$ 上のボレル集合体とする． $f, g$ をともに $\mathbb{R}$ 上の確率密度関数として， $A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ と $r \in \mathbb{R}$ をそれぞれ，

$$A = \{x \in \mathbb{R} : f(x) \le g(x)\},$$

$$r = \int_{-\infty}^{\infty} \min\{f(x), g(x)\} dx$$

により定める．以下では， $P$ は確率を表すものとし，確率変数 $X, Y$ の周辺確率分布はそれぞれ $f, g$ により定まるものとする．

(1) $P(X \in A) + P(Y \in A^c) = r$ であることを示せ．ここで $A^c$ は $A$ の補集合である．

(2) $P(X = Y) \le r$ であることを示せ．ただし， $X$ と $Y$ は互いに独立ではないものとする．

(3) $|P(X \in A) - P(Y \in A)| = |P(X \in A^c) - P(Y \in A^c)| = 1 - r$ であることを示せ．

(4) 任意の $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ に対して $|P(X \in B) - P(Y \in B)| \le 1 - r$ であることを示せ．

题目描述

记 $\mathcal B(\mathbb R)$ 为实数轴上的 Borel 集合族。设 $f,g$ 都是 $\mathbb R$ 上的概率密度，并定义

$$A=\{x\in\mathbb R:f(x)\leq g(x)\}, \qquad r=\int_{-\infty}^{\infty}\min\{f(x),g(x)\}\,dx.$$

以下以 $P$ 表示概率；随机变量 $X,Y$ 的边缘分布分别由密度 $f,g$ 给出，二者不要求相互独立。记 $A^c$ 为 $A$ 的补集。

1. 证明

$$P(X\in A)+P(Y\in A^c)=r.$$

2. 证明任意具有上述边缘分布的 $X,Y$ 都满足

$$P(X=Y)\leq r.$$

3. 证明

$$|P(X\in A)-P(Y\in A)| =|P(X\in A^c)-P(Y\in A^c)| =1-r.$$

4. 证明对每个 $B\in\mathcal B(\mathbb R)$，

$$|P(X\in B)-P(Y\in B)|\leq1-r.$$

Kai

集合 $A$ 上では $f\le g$ ， $A^c$ 上では $g<f$ である。

(1)

従って

$$\begin{aligned} P(X\in A)+P(Y\in A^c) &=\int_Af(x)\,dx+\int_{A^c}g(x)\,dx\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\min\{f(x),g(x)\}\,dx =r. \end{aligned}$$

よって $\boxed{P(X\in A)+P(Y\in A^c)=r}$ である。

(2)

$X,Y$ の任意の同時分布（独立である必要はない）について，事象 $\{X=Y\}$ を共通値が $A$ に入る場合と $A^c$ に入る場合に分けると

$$\begin{aligned} P(X=Y) &=P(X=Y,\,X\in A)+P(X=Y,\,X\in A^c)\\ &\le P(X\in A)+P(Y\in A^c)=r. \end{aligned}$$

第2項では $X=Y$ かつ $X\in A^c$ なら $Y\in A^c$ であることを用いた。従って $\boxed{P(X=Y)\le r}$ である。

(3)

$\int f=\int g=1$ より

$$\begin{aligned} 1-r &=\int_{A^c}(f-g)\,dx =\int_A(g-f)\,dx. \end{aligned}$$

したがって

$$P(Y\in A)-P(X\in A)=1-r,$$

$$P(X\in A^c)-P(Y\in A^c)=1-r.$$

$r\le1$ なので絶対値を取って

$$\boxed{|P(X\in A)-P(Y\in A)| =|P(X\in A^c)-P(Y\in A^c)|=1-r}.$$

(4)

$d(x)=f(x)-g(x)$ とおくと， $A$ 上で $d\le0$ ， $A^c$ 上で $d>0$ である。任意のボレル集合 $B$ に対して

$$\int_Bd \le\int_{B\cap A^c}d \le\int_{A^c}d=1-r.$$

一方，

$$\int_Bd \ge\int_{B\cap A}d \ge\int_Ad=-(1-r).$$

従って $-(1-r)\le\int_B(f-g)\le1-r$ であり，

$$\boxed{|P(X\in B)-P(Y\in B)|\le1-r}$$

が示された。