東京工業大学 情報理工学院 数理・計算科学系 2019年8月実施 午前 問A

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• 东京科学大学
• 矩阵秩

Author

思齐塾, 祭音Myyura

Description

$n \times n$ 実行列 $\boldsymbol{P}$ と $\boldsymbol{Q}$ に対して，階数 (rank) に関する以下の (A) から (C) の等式について考える ( $n \ge 1$ )．ただし， $\boldsymbol{R}^\top$ は行列 $\boldsymbol{R}$ の転置行列を表すとする．

(A) $\text{rank}[\boldsymbol{P} + \boldsymbol{Q}] = n$ . (B) $\text{rank} \begin{bmatrix} \boldsymbol{P} \\ \boldsymbol{Q} \end{bmatrix} = n$ . (C) $\text{rank}[\boldsymbol{Q}^\top \boldsymbol{P} + \boldsymbol{P}^\top \boldsymbol{Q}] = n$ .

以下の問に答えよ．

(1) (A) が成り立つならば，(B) も成り立つことを示せ．

(2) (C) が成り立つならば，(B) も成り立つことを示せ．

(3) (C) が成り立っても，(A) が成り立たない例を $n = 2$ に対して一つあげよ．

(4) (A) が成り立っても，(C) が成り立たない $\boldsymbol{P}$ と $\boldsymbol{Q}$ がともに非零行列の例を $n = 2$ に対して一つあげよ．

题目描述

设 $n\geq1$，$\boldsymbol P,\boldsymbol Q$ 为 $n\times n$ 实矩阵。记 $\boldsymbol R^\top$ 为矩阵 $\boldsymbol R$ 的转置，考虑下列三个关于秩的条件：

$$\begin{aligned} \text{(A)}\quad&\operatorname{rank}(\boldsymbol P+\boldsymbol Q)=n,\\ \text{(B)}\quad&\operatorname{rank} \begin{bmatrix}\boldsymbol P\\ \boldsymbol Q\end{bmatrix}=n,\\ \text{(C)}\quad&\operatorname{rank} (\boldsymbol Q^\top\boldsymbol P+\boldsymbol P^\top\boldsymbol Q)=n. \end{aligned}$$

1. 证明条件 (A) 成立时，条件 (B) 也成立。
2. 证明条件 (C) 成立时，条件 (B) 也成立。
3. 在 $n=2$ 时给出一个满足 (C) 但不满足 (A) 的例子。
4. 在 $n=2$ 时给出两个都不是零矩阵的 $\boldsymbol P,\boldsymbol Q$，使 (A) 成立而 (C) 不成立。

Kai

解答

(1)

(A) より正方行列 $P+Q$ は正則である。いま

$$\begin{bmatrix}P\\Q\end{bmatrix}x=0$$

とすると、 $Px=0$ かつ $Qx=0$ であるから、 $(P+Q)x=0$ である。 $P+Q$ は正則なので $x=0$ となる。したがって、縦に並べた行列の核は零空間だけであり、階数・退化次数定理より

$$\operatorname{rank}\begin{bmatrix}P\\Q\end{bmatrix}=n.$$

よって (B) が成り立つ。

(2)

(C) より $Q^\top P+P^\top Q$ は正則である。一方、

$$\begin{bmatrix}P\\Q\end{bmatrix}x=0$$

ならば $Px=Qx=0$ なので

$$(Q^\top P+P^\top Q)x=Q^\top(Px)+P^\top(Qx)=0.$$

正則性から $x=0$ である。したがって (1) と同様に縦に並べた行列の核は零空間だけであり、(B) が成り立つ。

(3)

例えば

$$P=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix},\qquad Q=\begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}$$

とする。このとき

$$P+Q=\begin{bmatrix}0&0\\0&2\end{bmatrix}$$

の階数は $1$ なので (A) は成り立たない。一方、 $P^\top=P$ 、 $Q^\top=Q$ より

$$Q^\top P+P^\top Q=2Q=\begin{bmatrix}-2&0\\0&2\end{bmatrix}$$

は正則であり、(C) は成り立つ。

(4)

例えば

$$P=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix},\qquad Q=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$$

とする。両者はともに非零であり、

$$\det(P+Q)=\det\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\end{bmatrix}=2\ne0$$

なので (A) は成り立つ。しかし $Q^\top=-Q$ であるから

$$Q^\top P+P^\top Q=Q^\top+Q=0$$

となり、その階数は $0$ である。したがって (C) は成り立たない。